[论文解读] Segal topoi and stacks over Segal categories

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Dec 23, 2002

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 25

一句话总结

本文利用塞加尔范畴构建了堆与拓扑斯的同伦理论框架，引入塞加尔拓扑斯作为预堆塞加尔范畴的精确局部化。建立了塞加尔拓扑斯与几何态射的2-塞加尔范畴，证明了类似吉拉尔德的刻画定理，并通过单纯化局部化展示了塞加尔拓扑斯与模型拓扑斯之间的等价性，从而为范畴与站点上的同伦类型理论提供了精细化版本，并扩展了阿廷-马祖尔的平展同伦理论。

ABSTRACT

In math.AG/0207028 we began the study of higher sheaf theory (i.e. stacks theory) on higher categories endowed with a suitable notion of topology: precisely, we defined the notions of S-site and of model site, and the associated categories of stacks on them. This led us to study a notion of extit{model topos} (orginally due to C. Rezk), a model category version of the notion of Grothendieck topos. In this paper we treat the analogous theory starting from (1-)Segal categories in place of S-categories and model categories. We introduce notions of Segal topologies, Segal sites and stacks over them. We define an abstract notion of Segal topos and relate it with Segal categories of stacks over Segal sites. We compare the notions of Segal topoi and of model topoi, showing that the two theories are equivalent in some sense. However, the existence of a nice Segal category of morphisms between Segal categories allows us to improve the treatment of topoi in this context. In particular we construct the 2-Segal category of Segal topoi and geometric morphisms, and we provide a Giraud-like statement characterizing Segal topoi among Segal categories. As an example of applications, we show how to reconstruct a topological space up to homotopy from the Segal topos of locally constant stacks on it, thus extending the main theorem of Toen, "Vers une interpretation Galoisienne de la theorie de l'homotopie" (to appear in Cahiers de top. et geom. diff. cat.) to the case of un-based spaces. We also give some hints of how to define homotopy types of Segal sites: this approach gives a new point of view and some improvements on the étale homotopy theory of schemes, and more generally on the theory of homotopy types of Grothendieck sites as defined by Artin and Mazur.

研究动机与目标

• 通过塞加尔范畴构建堆与拓扑斯的高范畴框架，作为模型范畴的替代方案。
• 定义塞加尔拓扑、塞加尔站点及其上的堆，从而引出塞加尔拓扑斯的概念。
• 构建塞加尔拓扑斯与几何态射的2-塞加尔范畴，克服模型拓扑斯理论中因缺乏内部态射对象而带来的局限性。
• 通过单纯化局部化建立塞加尔拓扑斯与模型拓扑斯之间的等价性，从而统一两种高阶拓扑斯理论方法。
• 通过定义塞加尔站点的pro-同伦型，推广阿廷-马祖尔的平展同伦理论，包括对球谱的应用。

提出的方法

• 将塞加尔范畴 T 上的塞加尔拓扑定义为其同伦范畴 Ho(T) 上的格罗滕迪克拓扑。
• 将塞加尔站点 (T,τ) 上的预堆塞加尔范畴构造为单纯预层的塞加尔范畴。
• 将塞加尔拓扑斯基于预堆范畴的精确局部化定义，其中堆构成一个在极限与下降下封闭的全满子-塞加尔范畴。
• 利用塞加尔范畴之间存在内部态射塞加尔范畴的事实，将几何态射定义为伴随对，从而形成塞加尔拓扑斯的2-塞加尔范畴。
• 证明模型范畴 M 的单纯化局部化 LM 诱导出堆的塞加尔拓扑斯与堆的局部化模型范畴之间的等价性。
• 将塞加尔拓扑斯的 pro-同伦型定义为左过滤塞加尔范畴上的余极限，推广阿廷-马祖尔的pro-对象构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在塞加尔范畴的语境下重新定义堆与拓扑斯，以克服模型范畴的局限性？
• RQ2 塞加尔拓扑斯与几何态射的2-塞加尔范畴具有何种结构？其与经典拓扑斯2-范畴相比有何异同？
• RQ3 塞加尔拓扑斯的pro-同伦型能否被构造？其如何精炼阿廷-马祖尔的平展同伦型？
• RQ4 是否存在类似吉拉尔德的刻画定理，将塞加尔拓扑斯表征为满足特定精确性与完备性条件的范畴？
• RQ5 球谱的小平展塞加尔拓扑斯的平展同伦型是什么？其与分层同伦理论有何关联？

主要发现

• 塞加尔拓扑斯基于预堆塞加尔范畴的精确局部化定义，且每个t-完备的塞加尔拓扑斯均可表示为某个塞加尔站点上堆的范畴。
• 堆的模型范畴的单纯化局部化与塞加尔拓扑斯之间存在自然等价，表明模型拓扑斯理论与塞加尔拓扑斯理论等价。
• 通过塞加尔范畴中的内部态射对象，构建了塞加尔拓扑斯的2-塞加尔范畴，从而实现了几何态射理论的一致性。
• 提出类似吉拉尔德的定理，将塞加尔拓扑斯基于作为预堆范畴的精确局部化，并满足特定余极限与伴随性质的塞加尔范畴。
• 塞加尔拓扑斯的pro-同伦型被定义为左过滤塞加尔范畴上的余极限，推广了阿廷-马祖尔的构造，并可能通过莫拉瓦K-理论捕捉分层数据。
• 球谱的平展塞加尔拓扑斯的pro-同伦型被猜想编码了与K(n)和E(n)理论相关的信息，提示了对平展同伦理论的分层精化。