[论文解读] Segre embedding and related maps and immersions in differential geometry

Bang‐Yen Chen|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文综述了复几何中塞列布嵌入及其相关构造的微分几何性质，重点关注凯勒浸入、CR-子流形、拉格朗日子流形和扭曲积。研究结果表明，塞列布型映射——如张量积浸入、部分塞列布映射和斜塞列布嵌入——在复射影空间和欧氏空间中提供了子流形的典范构造，关键成果包括将实超曲面表征为部分塞列布浸入，以及CR-扭曲积几何不等式的等号情形。

ABSTRACT

Segre embedding was introduced by C. Segre (1863--1924) in his famous 1891 article \cite{segre}. The Segre embedding plays an important roles in algebraic geometry as well as in differential geometry, mathematical physics, and coding theory. In this article, we survey main results on Segre embedding in differential geometry. Moreover, we also present recent differential geometric results on maps and immersions which are constructed in ways similar to Segre embedding.

研究动机与目标

• 综述并系统化近期关于复几何与凯勒几何中塞列布嵌入及其推广的微分几何结果。
• 研究塞列布型构造（如张量积、部分塞列布映射和卷积）如何生成CR-子流形和拉格朗日浸入等重要子流形类。
• 建立源自塞列布嵌入的浸入的几何不等式与刻画定理，特别是在复射影空间和欧氏空间中。
• 证明复空间形式中的实超曲面自然地作为部分塞列布浸入出现，且在刚体运动下存在逆定理。

提出的方法

• 本文采用塞列布嵌入 $ S_{hp}: \mathbb{C}P^h(4) \times \mathbb{C}P^p(4) \to \mathbb{C}P^{h+p+hp}(4) $ 作为基础构造，其定义为 $ (z_j w_t) $，用于生成凯勒浸入与CR-浸入。
• 将塞列布映射推广至更高阶乘积 $ S_{n_1\cdots n_s} $，并利用张量积结构 $ z \boxtimes w $ 在复空间中定义新浸入。
• 通过将盒张量积 $ \boxtimes $ 应用于构造复扩张器、拉格朗日子流形和扭曲积浸入，方法基于到 $ \mathbb{C}^m $ 和 $ S^q(1) $ 的等距嵌入。
• 引入黎曼流形的欧氏塞列布映射 $ x \boxtimes y $，导出卷积流形，其度量为 $ \rho_2^2 g_1 + \rho_1^2 g_2 + 2\rho_1\rho_2 d\rho_1 \otimes d\rho_2 $，其中 $ \rho_i = |x_i| $。
• 利用斜塞列布映射 $ z \boxtimes \bar{z} $，通过共轭构造 $ \mathbb{C}P^n(2) $ 到 $ \mathbb{C}P^{n(n+2)}(4) $ 的全实浸入。
• 分析几何不等式如 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p\|\nabla(\ln f)\|^2 $，并发现等号情形与标准部分塞列布 $ CR $-浸入密切相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 塞列布型嵌入及其推广如何刻画复射影空间与欧氏空间中的子流形？
• RQ2 在 $ \mathbb{C}^{n+1} $ 中，何种条件可确保实超曲面为部分塞列布浸入或扭曲积？
• RQ3 几何不等式 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p\|\nabla(\ln f)\|^2 $ 的等号情形能否通过塞列布构造刻画？
• RQ4 张量积与卷积构造如何在复空间中生成拉格朗日或CR-子流形？
• RQ5 共轭与斜塞列布映射在生成全实子流形中起何种作用？

主要发现

• 塞列布嵌入 $ S_{hp} $ 是从 $ \mathbb{C}P^h(4) \times \mathbb{C}P^p(4) $ 到 $ \mathbb{C}P^{h+p+hp}(4) $ 的凯勒浸入，当 $ h=p=1 $ 时，其像为复二次曲面 $ Q_2 \subset \mathbb{C}P^3 $。
• 通过 $ z^\alpha \boxtimes w \boxplus z^\alpha_\perp $ 构造的部分塞列布映射 $ C_{hp}^\alpha $ 在复欧氏空间中产生 $ CR $-扭曲积。
• 在复射影空间中，标准部分塞列布 $ CR $-浸入在不等式 $ \|\sigma\|^2 \geq 2p\|\nabla(\ln f)\|^2 $ 中取等号，刻画了最优几何构型。
• 通过单位速度曲线 $ z $ 与球面浸入 $ x $ 构造的复扩张器 $ \tau = z \boxtimes x $，在 $ \mathbb{C}^m $ 中产生拉格朗日子流形。
• 任何在 $ \mathbb{C}^{n+1} $ 中为复超曲面 $ N $ 与区间 $ I $ 的扭曲积 $ N \times_f I $ 的实超曲面，要么是部分塞列布浸入 $ (a\gamma \boxtimes z^1) \boxplus z^1_\perp $，要么是乘积 $ \mathbb{C}^n \times C $。
• 斜塞列布映射 $ z \boxtimes \bar{z} $ 给出 $ \mathbb{C}P^n(2) $ 到 $ \mathbb{C}P^{n(n+2)}(4) $ 的全实等距浸入，且 $ \psi \boxtimes \bar{\psi} $ 通过凯勒浸入的共轭生成全实子流形。