[论文解读] Seiberg-Witten invariants and surface singularities II. Singularities with good $\C^*$-action

András Némethi, Liviu I. Nicolaescu|ArXiv.org|Jan 14, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文验证了关于具有良好 ℂ*-作用的正规曲面奇点的链接的 Seiberg-Witten 不变量与其几何亏格之间关系的猜想，利用典范 spin^c 结构建立了几何亏略的拓扑公式。本文以 Seifert 不变量表示了链接的 Seiberg-Witten 单极子和 Reidemeister-Turaev 刻度修正 torsion，为这类奇点提供了完整的拓扑表征。

ABSTRACT

This is a continuation of our paper math.AG/0111298. We prove an explicit formula for the geometric genus p_g of a quasihomogeneous isolated surface singularity in terms of the Seiberg-Witten invariant of the link and other topological data which can be read from a resolution graph of the singularity. Moreover, we also determine all the Reidemeister-Turaev sign-refined torsion of the link (associated with any spin^c structure) in terms of the Seifert invariants.

研究动机与目标

• 验证文献[18]中的一个猜想，该猜想将具有良好 ℂ*-作用的正规曲面奇点的链接的 Seiberg-Witten 不变量与其几何亏略联系起来。
• 计算与典范 spin^c 结构及自然 Thurston 度量相关的链接的 Seiberg-Witten 单极子。
• 利用 Seifert 不变量，确定链接在任意 spin^c 结构下的 Reidemeister-Turaev 刻度修正 torsion 的完整集合。
• 为具有有理同调球面链接的 Gorenstein 奇点建立几何亏略的拓扑公式。

提出的方法

• 利用奇点去心邻域上的几乎复结构在链接上诱导出典范 spin^c 结构。
• 应用涉及 Casson-Walker 不变量和 Reidemeister-Turaev torsion 的有理同调球面链接的 Seiberg-Witten 不变量公式。
• 利用解析图和 Seifert 不变量来参数化链接的拓扑结构，特别是针对具有良好 ℂ*-作用的奇点。
• 通过 Dedekind 和与整数线性形式的取整函数展开生成函数的洛朗级数，以计算 Seiberg-Witten 和 torsion 不变量。
• 利用 Spin^c(M) 的 H-挠率结构，通过群特征作用将结果从典范 spin^c 结构推广到所有其他结构。
• 应用生成函数在 t→1 时的极限的显式公式，以提取 torsion 和 Seiberg-Witten 不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有良好 ℂ*-作用的正规曲面奇点的几何亏略是否能通过其链接的 Seiberg-Witten 不变量（相对于典范 spin^c 结构）完全以拓扑方式表达？
• RQ2 链接的 Seiberg-Witten 单极子如何与它的 Seifert 不变量以及典范 spin^c 结构相关联？
• RQ3 链接的 Reidemeister-Turaev 刻度修正 torsion 的完整集合是什么？它们如何由 Seifert 不变量决定？
• RQ4 对于具有良好 ℂ*-作用的 Gorenstein 奇点，几何亏略的猜想拓扑上界是否成为精确等式？

主要发现

• 任何具有良好 ℂ*-作用的正规曲面奇点的几何亏略，均由其链接在典范 spin^c 结构下的 Seiberg-Witten 不变量完全拓扑决定。
• 链接的 Seiberg-Witten 单极子（相对于典范 spin^c 结构和 Thurston 度量）已明确以 Seifert 不变量表示。
• 任意 spin^c 结构下的 Reidemeister-Turaev 刻度修正 torsion 由一个包含 Dedekind 和与线性形式取整函数的洛朗展开公式确定。
• 典范 Seiberg-Witten 不变量满足猜想不等式，且在 Gorenstein 奇点处取等，证实了该上界的拓扑精确性。
• torsion 不变量的公式涉及对整数 l 的求和，其中包含线性表达式的取整函数，其收敛值为一个依赖于 Seifert 不变量和 spin^c 结构的有理数。
• 当 t→1 时，生成函数的极限给出 torsion 不变量，其包含一个涉及链接的欧拉示性数和欧拉数的修正项。