[论文解读] Seiberg-Witten invariants and surface singularities III. Splicings and cyclic covers

András Némethi, Liviu I. Nicolaescu|ArXiv.org|Jul 2, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 19被引用 5

一句话总结

该论文验证了关于悬垂奇点 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ 的拓扑不变量与分析不变量之间联系的猜想，其中 $f$ 是一个不可约平面曲线奇点。通过使用 Casson-Walker 不变量与符号修正 Reidemeister-Turaev 扭结的拼接公式，作者证明了与规范 $ m{spin}^c$ 结构相关的链接 $M$ 的修正 Seiberg-Witten 不变量等于 $-\sigma(F)/8$，其中 $ \sigma(F)$ 是 $g$ 的 Milnor 纤维的符号差。这确立了此类奇点的几何亏格的拓扑不变性。

ABSTRACT

We verify the conjecture formulated in math.AG/0111298 for suspension singularities of type $g(x,y,z)= f(x,y)+z^n$, where $f$ is an irreducible plane curve singularity. More precisely, we prove that the modified Seiberg-Witten invariant of the link $M$ of $g$, associated with the canonical $spin^c$ structure, equals $-σ(F)/8$, where $σ(F)$ is the signature of the Milnor fiber of $g$. In order to do this, we prove general splicing formulae for the Casson-Walker invariant and for the sign refined Reidemeister-Turaev torsion (in particular, for the modified Seiberg-Witten invariant too). These provide results for some cyclic covers as well. As a by-product, we compute all the relevant invariants of $M$ in terms of the Newton pairs of $f$ and the integer $n$.

研究动机与目标

• 验证悬垂奇点 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ 的链接的修正 Seiberg-Witten 不变量是否等于其 Milnor 纤维的符号差的 $-1/8$。
• 建立 Casson-Walker 不变量与符号修正 Reidemeister-Turaev 扭结的一般拼接公式，包括对循环覆盖的情形。
• 用 $f$ 的 Newton 对与整数 $n$ 表示 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ 的链接 $M$ 的拓扑不变量。
• 证明此类奇点的几何亏格是拓扑不变量，即仅由链接的拓扑决定。

提出的方法

• 通过结扎图与 $\mathbb{Q}$-同调球面结构，推导出 Casson-Walker 不变量与符号修正 Reidemeister-Turaev 扭结的一般拼接公式。
• 将这些公式应用于由悬垂奇点产生的 3-流形的循环覆盖。
• 利用分辨率图上的归纳技术，通过涉及 $h_k$ 与 $d_k$ 的递归关系，计算修正 Seiberg-Witten 不变量 $\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}})$。
• 依赖 [31] 与 [29] 中的已知结果，将验证过程简化为对单个 Seifert 纤维空间 $\Sigma(p_k, a_k, n/d_k)$ 的处理。
• 使用恒等式 $\mathcal{T}_{M,\sigma_{\text{can}}}(1) = \text{符号修正扭结}$，并通过 $\mathbf{sw}^0 = \mathcal{T} - \lambda$ 将其与修正 Seiberg-Witten 不变量关联。
• 利用公式 $\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) = \sum_{k=1}^s d_k \cdot \mathbf{sw}^0_{\Sigma(p_k,a_k,n/d_k)}(\sigma_{\text{can}})$ 将问题约化为基本情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 悬垂奇点 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ 的链接的修正 Seiberg-Witten 不变量是否等于 $-\sigma(F)/8$，其中 $ \sigma(F)$ 是其 Milnor 纤维的符号差？
• RQ2 Casson-Walker 不变量与符号修正 Reidemeister-Turaev 扭结能否通过 $\mathbb{Q}$-同调球面的拼接公式计算？
• RQ3 具有 $\mathbb{Q}$-同调球面链接的悬垂奇点的几何亏格是否为拓扑不变量？
• RQ4 链接 $M$ 的不变量能否从平面曲线奇点 $f$ 的 Newton 对与指数 $n$ 显式计算？
• RQ5 修正 Seiberg-Witten 不变量的拼接公式是否对这类奇点产生的 3-流形的循环覆盖成立？

主要发现

• 悬垂奇点 $g(x,y,z) = f(x,y) + z^n$ 的链接 $M$ 的修正 Seiberg-Witten 不变量满足 $-\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) = \sigma(F)/8$，其中 $ \sigma(F)$ 是 $g$ 的 Milnor 纤维的符号差。
• 奇点 $\{g=0\}$ 的几何亏格 $p_g$ 是拓扑不变量，且由 $p_g = \mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) - (K^2 + \#\mathcal{V})/8$ 给出，其中 $K^2 + \#\mathcal{V}$ 是结扎图的不变量。
• 修正 Seiberg-Walker 不变量满足拼接公式 $\mathbf{sw}^0_{M_{(s)}}(\sigma_{\text{can}}) = h_s \cdot \mathbf{sw}^0_{M_{(s-1)}}(\sigma_{\text{can}}) + \mathbf{sw}^0_{\Sigma(p_s,a_s,n)}(\sigma_{\text{can}})$，并推广为 $\mathbf{sw}^0_M(\sigma_{\text{can}}) = \sum_{k=1}^s d_k \cdot \mathbf{sw}^0_{\Sigma(p_k,a_k,n/d_k)}(\sigma_{\text{can}})$。
• 通过分辨率图的递归结构，$M$ 的不变量可完全由 $f$ 的 Newton 对与整数 $n$ 计算。
• 符号修正 Reidemeister-Turaev 扭结 $\mathcal{T}_{M,\sigma_{\text{can}}}(1)$ 被证明是 $n$ 的拟周期函数，形式为 $n p_1(n) + p_2(n)$，其中 $p_1, p_2$ 为周期函数。
• 该结果确认了 [31] 中关于悬垂奇点的猜想，将 Fintushel-Stern 与 Neumann-Wahl 的早期结果推广至 $\mathbb{Q}$-同调球面情形。