[论文解读] Seidel switching for weighted multi-digraphs and its quantum perspective

Supriyo Dutta, Bibhas Adhikari+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文将Seidel切换推广至加权多重有向图，证明其作为酉操作可生成具有相同谱的拉普拉斯矩阵与无符号拉普拉斯矩阵，从而产生谱相同的密度矩阵。关键贡献在于建立了Seidel切换的量子视角，表明其作为全局酉操作，对CNOT门（阶数为4）具有最大纠缠生成能力，而纠缠强度随矩阵阶数增加呈指数衰减。

ABSTRACT

Construction of graphs with equal eigenvalues (co-spectral graphs) is an interesting problem in spectral graph theory. Seidel switching is a well-known method for generating co-spectral graphs. From a matrix theoretic point of view, Seidel switching is a combined action of a number of unitary operations on graphs. Recent works [1] and [2] have shown significant connections between graph and quantum information theories. Corresponding to Laplacian matrices of any graph there are quantum states useful in quantum computing. From this point of view, graph theoretical problems are meaningful in the context of quantum information. This work describes Seidel switching from a quantum perspective. Here, we generalize Seidel switching to weighted directed graphs. We use it to construct graphs with equal Laplacian and signless Laplacian spectra and consider density matrices corresponding to them. Hence Seidel switching is a technique to generate cospectral density matrices. Next, we show that all the unitary operators used in Seidel switching are global unitary operators. Global unitary operators can be used to generate entanglement, a benchmark phenomena in quantum information processing.

研究动机与目标

• 将Seidel切换推广至具有多重边和环的加权有向图。
• 证明Seidel切换在拉普拉斯矩阵与无符号拉普拉斯矩阵下可生成共谱图。
• 建立Seidel切换的量子力学解释，将其视为全局酉操作。
• 分析Seidel算子的纠缠生成强度，并将其与量子信息处理关联。
• 探讨共谱密度矩阵对量子态可区分性与纠缠浓缩的启示。

提出的方法

• 使用具有实数权重和环的邻接矩阵，将Seidel切换推广至加权多重有向图。
• 分别定义拉普拉斯矩阵与无符号拉普拉斯矩阵：L(G) = D(G) - A(G) 与 Q(G) = D(G) + A(G)。
• 从这些矩阵构造密度矩阵 ρₗ(G) = L(G)/trace(L(G)) 与 ρq(G) = Q(G)/trace(Q(G))。
• 将Seidel切换表示为作用于图态整体的酉操作序列。
• 分析所得酉算子的施密特强度 K_Sch 与 WZ 纠缠度量 K_WZ。
• 比较不同阶数的Seidel算子在纠缠生成方面的表现，特别关注CNOT门（阶数为4）的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 Seidel切换能否推广至具有环和多重有向边的加权多重有向图？
• RQ2 Seidel切换如何在拉普拉斯矩阵与无符号拉普拉斯矩阵下生成共谱图？
• RQ3 Seidel切换作为酉变换的量子力学解释是什么？
• RQ4 Seidel算子的纠缠生成强度如何，其随矩阵阶数如何变化？
• RQ5 Seidel切换能否用于从可分初始态生成最大纠缠态？

主要发现

• 对于加权多重有向图，Seidel切换在拉普拉斯矩阵与无符号拉普拉斯矩阵下均可生成共谱图。
• 支撑Seidel切换的酉操作是全局的，作用于整个系统而非局部。
• 对应阶数为4的Seidel算子的CNOT门，达到最大施密特强度 K_Sch = 1 与最大纠缠生成能力。
• 随着Seidel算子阶数增加，纠缠强度 K_Sch 呈指数衰减。
• WZ纠缠度量 K_WZ 约为 K_Sch 的一半，证实了纠缠趋势的一致性。
• 施密特强度 K_Sch 作为纠缠生成强度 K_E(U) 的下界，支持了纠缠随矩阵阶数指数衰减的结论。