[论文解读] Seismic Imaging and Optimal Transport

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2018

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文提出在全波形反演（FWI）中使用二次 Wasserstein 距离（$W_2$）作为似然函数，以克服传统 $L^2$-范数方法固有的局部极小值问题。通过利用最优传输理论并数值求解 Monge-Ampère 方程，$W_2$ 提供了更好的凸性与抗噪鲁棒性，即使从高度平滑的初始模型出发，也能实现精确反演，如在二维合成 Marmousi 模型和层状模型中所示，逐道 $W_2$ 计算在收敛性和噪声抑制方面优于 $L^2$。

ABSTRACT

Seismology has been an active science for a long time. It changed character about 50 years ago when the earth's vibrations could be measured on the surface more accurately and more frequently in space and time. The full wave field could be determined, and partial differential equations (PDE) started to be used in the inverse process of finding properties of the interior of the earth. We will briefly review earlier techniques but mainly focus on Full Waveform Inversion (FWI) for the acoustic formulation. FWI is a PDE constrained optimization in which the variable velocity in a forward wave equation is adjusted such that the solution matches measured data on the surface. The minimization of the mismatch is usually coupled with the adjoint state method, which also includes the solution to an adjoint wave equation. The least-squares norm is the conventional objective function measuring the difference between simulated and measured data, but it often results in the minimization trapped in local minima. One way to mitigate this is by selecting another misfit function with better convexity properties. Here we propose using the quadratic Wasserstein metric as a new misfit function in FWI. The optimal map defining the quadratic Wasserstein metric can be computed by solving a Monge-Ampere equation. Theorems pointing to the advantages of using optimal transport over the least-squares norm will be discussed, and a number of large-scale computational examples will be presented.

研究动机与目标

• 为解决全波形反演（FWI）中传统 $L^2$ 似然函数固有的局部极小值问题。
• 通过用二次 Wasserstein 距离（$W_2$）替代 $L^2$ 范数，提升 FWI 的凸性与鲁棒性。
• 开发并验证在地震反演背景下通过 Monge-Ampère 方程计算 $W_2$ 的数值方法。
• 展示 $W_2$ 在从噪声干扰和高度平滑的初始数据中恢复准确地下速度模型方面的有效性。
• 在收敛速度、噪声抑制与抗干扰性方面，比较逐道 $W_2$、全局 $W_2$ 与 $L^2$ 的表现。

提出的方法

• 提出将二次 Wasserstein 距离（$W_2$）作为 FWI 中的新似然函数，替代标准的 $L^2$ 范数。
• 利用 Monge-Ampère 方程计算定义 $W_2$ 的最优传输映射，从而通过伴随状态法实现梯度计算。
• 在每次 FWI 迭代中，采用有限差分求解器对 Monge-Ampère 方程进行数值逼近。
• 提出一种逐道 $W_2$ 方法，通过精确的一维最优传输解，对每个检波道独立计算 $W_2$。
• 采用 L-BFGS 作为优化算法进行模型更新，伴随源由 $W_2$ 梯度导出。
• 对数据进行滤波处理，以确保在高维空间中求解 Monge-Ampère 方程时的数值稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 与 $L^2$ 范数相比，$W_2$ 距离是否能显著降低 FWI 收敛至局部极小值的可能性？
• RQ2 在二维地震模型中，全局 $W_2$ 与逐道 $W_2$ 近似在计算成本与精度方面如何比较？
• RQ3 当信噪比较低时，$W_2$ 在多大程度上提升了地震数据的抗噪能力？
• RQ4 当初始化为远离真实解的高度平滑速度模型时，基于 $W_2$ 的 FWI 表现如何？
• RQ5 在实际 FWI 应用中，数据正则化对 Monge-Ampère 方程数值解的影响是什么？

主要发现

• 基于 $W_2$ 的 FWI 成功避免了局部极小值，即使从高度平滑的初始模型出发，也能生成无伪影的反演结果，而 $L^2$ 则产生虚假的高频伪影。
• 逐道 $W_2$ 在仅 20 次迭代内即可将相对似然误差降低至 0.1，而 $L^2$ 收敛缓慢且持续存在伪影。
• $W_2$ 距离对噪声不敏感：在信噪比为 -3.47 dB 的情况下，反演仍能恢复真实 Marmousi 模型的大部分特征。
• 全局 $W_2$ 计算受限于对数据正则性的要求以及 Monge-Ampère 求解器的数值稳定性，因此逐道 $W_2$ 方法在实际应用中更具可行性。
• $W_2$ 的伴随源由 Monge-Ampère 方程的解导出，涉及对数据差值的非局部、非线性变换。
• 数值结果表明，$W_2$ 的凸性特性优于 $L^2$，从而在全波形反演中实现更快、更可靠的收敛。