[论文解读] Seismic inverse scattering in the `wave-equation' approach

Christiaan C. Stolk, Maarten V. de Hoop|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2001

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 17被引用 25

一句话总结

该论文基于波动方程方法，为地震反向散射发展了一套微局部分析框架，聚焦于双平方根（DSR）方程，用于建模在光滑背景介质中的波传播。证明了生成共成像点叠加的倾角变换无伪影，并基于DSR方程构建了伪微分消去算子，从而在非水平射线条件下，以严格的数学依据实现了对地震成像中数据冗余性的稳健利用。

ABSTRACT

Seismic data are commonly modeled by a high-frequency single scattering approximation. This amounts to a linearization in the medium coefficient about a smooth background. The discontinuities are contained in the medium perturbation. The wave solutions in the background medium admit a geometrical optics representation. Here we describe the wave propagation in the background medium by a one-way wave equation. Based on this we derive the double-square-root equation, which is a first order pseudodifferential equation, that describes the continuation of seismic data in depth. We consider the modeling operator, its adjoint and reconstruction based on this equation. If the rays in the background that are associated with the reflections due to the perturbation are nowhere horizontal, the singular part of the data is described by the solution to an inhomogeneous double-square-root equation. We derive a microlocal reconstruction equation. The main result is a characterization of the angle transform that generates the common image point gathers, and a proof that this transform contains no artifacts. Finally, pseudodifferential annihilators based on the double-square-root equation are constructed. The double-square-root equation approach is used in seismic data processing.

研究动机与目标

• 开发基于波动方程方法的地震反向散射的严格数学框架。
• 表征共成像点叠加中使用的倾角变换，并证明其无伪影。
• 基于双平方根（DSR）方程推导微局部重建方程，用于地震数据的向下传播。
• 在DSR框架下构建利用数据冗余性的伪微分消去算子。
• 建立法向算子为伪微分算子的条件，从而实现对介质扰动的微局部重建。

提出的方法

• 使用单程波方程对背景介质中的波传播进行建模，导出双平方根（DSR）方程作为一阶伪微分方程。
• 当射线在任何地方都不水平时，将地震数据的奇异部分表征为非齐次DSR方程的解。
• 利用微局部分析表征建模算子的典型关系，并证明相关傅里叶积分算子的可逆性。
• 定义一个改进的DSR算子（eAWE），其作为具有主符号1的可逆傅里叶积分算子，从而实现微局部重建。
• 通过算子复合构造伪微分消去算子，以利用数据冗余性，特别是使用差分算子 M = r − s。
• 对改进算子应用正则化逆，推导出完全消去算子 W = K fM eK∗，该算子可对所有阶次消去数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 在波动方程方法下，共成像点叠加中使用的倾角变换能否被严格表征为无伪影？
• RQ2 在存在介质扰动的情况下，双平方根方程在何种条件下适用于地震数据建模？
• RQ3 如何从DSR方程构造伪微分消去算子，以在地震反演问题中利用数据冗余性？
• RQ4 当射线在任何地方都不水平时，重建算子的微局部结构是什么？
• RQ5 能否证明波动方程方法中的法向算子为伪微分算子，从而实现微局部反演？

主要发现

• 证明了生成共成像点叠加的倾角变换在波动方程方法下无伪影，解决了基于Kirchhoff方法的先前疑虑。
• 表明双平方根方程是一阶伪微分方程，能够准确建模光滑背景介质中地震数据的向下传播。
• 证明了微局部重建算子 eAWE 是一个具有主符号等于1的可逆傅里叶积分算子，从而确保在微局部等价意义下对扰动的精确恢复。
• 构造了伪微分消去算子 W = K fM eK∗，其可对所有阶次消去数据，且 W 依赖于背景介质 c0。
• 消去算子 W[c0] 作为差分似然函数的波动方程类比，提供了数据一致性的定量度量。
• 该证明依赖于建模算子典型关系的微局部可逆性，其在反射相关射线在任何地方都不水平的条件下成立。