[论文解读] Seismic Inversion and the Data Normalization for Optimal Transport

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Seismic Imaging and Inversion Techniques参考文献 20被引用 5

一句话总结

本文通过提出一种符号敏感的归一化方法，利用最优传输理论解决了全波形反演（FWI）中的一个关键矛盾，该方法结合了线性和指数缩放，实现了鲁棒且凸的残差计算。该方法在保持信号结构的同时满足最优传输的要求，在大规模地震成像测试中，其反演结果优于理论上理想但不切实际的归一化方法以及经验上有效但非凸的替代方法。

ABSTRACT

Full waveform inversion (FWI) has recently become a favorite technique for the inverse problem of finding properties in the earth from measurements of vibrations of seismic waves on the surface. Mathematically, FWI is PDE constrained optimization where model parameters in a wave equation are adjusted such that the misfit between the computed and the measured dataset is minimized. In a sequence of papers, we have shown that the quadratic Wasserstein distance from optimal transport is to prefer as misfit functional over the standard $L^2$ norm. Datasets need however first to be normalized since seismic signals do not satisfy the requirements of optimal transport. There has been a puzzling contradiction in the results. Normalization methods that satisfy theorems pointing to ideal properties for FWI have not performed well in practical computations, and other scaling methods that do not satisfy these theorems have performed much better in practice. In this paper, we will shed light on this issue and resolve this contradiction.

研究动机与目标

• 解决最优传输FWI中理论上最优的归一化方法与其在实际中表现不佳之间的矛盾。
• 开发一种数据归一化技术，满足关键数学性质（如凸性、可微性），同时在真实地震数据集上表现良好。
• 弥合线性缩放（实际有效但不凸）与二次/指数缩放（理论上理想但不稳定）在基于最优传输的FWI中的差距。
• 通过确保信号正确转换为概率测度，实现使用二次Wasserstein距离（$W_2$）的稳定、高分辨率地震反演。

提出的方法

• 提出一种新的符号敏感归一化：$\tilde{f}(t) = \begin{cases} (f(t)+\frac{1}{c})/b, & f(t) \geq 0 \\ \frac{1}{c}\exp(cf(t))/b, & f(t) < 0 \end{cases}$，其中 $b$ 确保归一化为单位质量。
• 使用逐道一维最优传输计算合成与观测地震道之间的 $W_2$ 距离。
• 采用伴随状态法进行梯度计算，利用新归一化方法的 $C^1$ 可微性实现稳定的反向传播。
• 引入复合目标函数 $J_4(m) = W_2^2(P(f), P(g)) + W_2^2(P(-f), P(-g))$，以保留正负信号分量中的信息。
• 采用参数 $c > 0$ 控制线性与指数行为之间的过渡，根据数据范围进行调优。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何具有理论优势（如凸性）的归一化方法在实际FWI中表现不佳，而理论上有缺陷的方法反而表现更好？
• RQ2 能否设计一种归一化方法，结合线性缩放的凸性与指数缩放的鲁棒性，用于最优传输FWI？
• RQ3 归一化方法的选择如何影响 $W_2$ 残差函数相对于信号平移的凸性？
• RQ4 在全波形反演中，保留负信号分量对反演精度有何影响？

主要发现

• 所提出的符号敏感归一化方法实现了 $C^1$ 可微性，从而在FWI中实现了稳定的伴随状态梯度计算。
• 数值实验表明，新归一化方法在信号平移下保持了 $W_2$ 残差的凸性，如图10所示。
• 在Marmousi模型测试中，采用新归一化方法（公式24）的 $W_2$ 成功恢复了细尺度结构，而 $L^2$ 反演则产生了虚假的高频伪影。
• 线性缩放收敛到合理模型（图8a），而基于平方的归一化则陷入局部极小值（图8b），表明新方法在实际应用中的优越性。
• 新归一化方法起到折中作用：当 $c$ 较小时，其行为类似线性缩放；当 $c$ 较大时，其趋近于正部分归一化，从而保持了信号动力学特性。