[论文解读] Selected problems on elliptic equations involving measures

Augusto C. Ponce|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用 22

一句话总结

本文研究具有测度数据的椭圆PDE，重点关注当右端项为有限Borel测度而非 $ L^1 $ 函数时解的存在性、正则性及结构。通过非线性Perron方法引入了约化测度的概念，证明其为Dirichlet问题中允许的最大测度，并建立了弱最大原理、Sobolev空间中的紧致性以及扩散测度逼近等基础工具。

ABSTRACT

This monograph is the core of my book "Elliptic PDEs, Measures and Capacities: From the Poisson equation to Nonlinear Thomas-Fermi Problems" which has received the 2014 EMS Monograph Award and is available in the series EMS Tracts in Mathematics published by the European Mathematical Society. Many chapters have been thoroughly rewritten during the book preparation. The manuscript here has kept the original presentation and concerns linear and nonlinear Dirichlet problems involving $L^1$ data and more generally measure data, based on Stampacchia's definition of weak solution. I explain some of the main tools: linear regularity theory, maximum principles, Kato's inequality, method of sub and supersolutions, and the Perron method. The semilinear Dirichlet problem need not have a solution for every finite measure. I give characterizations of measures for which the problem has a solution with polynomial and exponential nonlinearities in connection with capacities and Hausdorff measures. Finally, the reader will find a different approach to the concept of reduced measure introduced in collaboration with H. Brezis and M. Marcus, which has not been retained in my EMS book due to personal time constraints.

研究动机与目标

• 开发一个统一的框架，用于研究具有测度数据的椭圆方程，特别是当源项缺乏 $ L^1 $ 正则性时。
• 阐明约化测度在带吸收项的非线性Dirichlet问题中的作用，表明其代表了可解性所允许的最大测度。
• 将经典工具——最大原理、上下解方法及Perron方法——适应于 $ L^1 $-解和测度数据的弱设定。
• 为具有测度数据的解建立弱 $ L^p $ 估计及Sobolev空间中的紧致性，弥合 $ L^1 $ 与 $ W^{1, N/(N-1)} $ 正则性之间的差距。
• 系统处理多项式型与指数型非线性项，包括临界与超临界增长，在测度数据下进行分析。

提出的方法

• 采用Dirichlet问题的弱形式：$ -\Delta u = \mu $ 在 $ \Omega $ 中，$ u = 0 $ 在 $ \partial\Omega $ 上，其中 $ \mu $ 为有限Borel测度。
• 应用非线性Perron方法，通过上下解构造解，强调存在性而不依赖于唯一性。
• 引入约化测度 $ \mu^* $ 的概念，定义为所有满足Dirichlet问题可解性的测度 $ \nu \leq \mu $ 的逐点上确界。
• 利用容量理论和准连续性的概念，分析 $ L^1(\Omega) $ 中解的精细性质。
• 采用受Chacon和Rosenthal启发的“咬噬引理”型论证，处理Sobolev空间中的弱收敛与紧致性。
• 建立Hausdorff测度通过 $ \mathcal{H}^s_\delta $ 的一致逼近，从而实现对扩散测度的正则化逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪一最大测度 $ \mu^* \leq \mu $，Dirichlet问题 $ -\Delta u = \mu^* $，$ u = 0 $ 在 $ \partial\Omega $ 上，存在解？
• RQ2 当数据 $ \mu $ 为测度而非 $ L^1 $ 函数时，最大原理与上下解方法应如何调整？
• RQ3 测度 $ \mu $ 在密度意义下被 $ L^1 $ 函数强逼近的充要条件是什么？
• RQ4 解 $ -\Delta u + g(u) = \mu $ 的正则性如何依赖于 $ g $ 的增长，特别是在临界与超临界情形下？
• RQ5 在何种意义下，扩散测度（例如，支撑在零容量集上的测度）可被 $ L^1 $ 中的函数列逼近？在此背景下，约化测度起什么作用？

主要发现

• 约化测度 $ \mu^* $ 存在，且是所有满足 $ -\Delta u = \nu $ 在 $ L^1(\Omega) $ 中有解的测度 $ \nu \leq \mu $ 中的最大者。
• 对于 $ \mu \in \mathcal{M}(\Omega) $，解 $ u $ 属于 $ W_0^{1,q}(\Omega) $ 对所有 $ 1 \leq q < \frac{N}{N-1} $，但未必属于 $ W^{1, N/(N-1)}(\Omega) $。
• 当 $ \mu \in L^1(\Omega) $ 时，解 $ u $ 满足弱 $ L^p $ 估计（$ p < \frac{N}{N-1} $），且在 $ W_0^{1,q}(\Omega) $ 中对 $ q < \frac{N}{N-1} $ 成立紧致性。
• 约化测度满足基本性质：若 $ u $ 是 $ -\Delta u = \mu $ 的下解，则 $ u $ 也是 $ -\Delta u = \mu^* $ 的下解，且 $ \mu^* $ 是满足此性质的最小测度。
• 对于扩散测度，解存在的充要条件是该测度在 $ W^{1, N/(N-1)} $-容量为零的集合上为零。
• Hausdorff测度 $ \mathcal{H}^s $ 满足 $ \mathcal{H}^s(A) < \infty $ 时诱导出有限Borel测度，且 $ \mathcal{H}^s \lfloor_A $ 可通过 $ \mathcal{H}^s_\delta \lfloor_A $ 在 $ \delta \to 0 $ 时一致逼近。