[论文解读] Selection and improvement of product formulae for best performance of quantum simulation

Mauro E. S. Morales, Pedro C. S. Costa+4 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2022

Fractal and DNA sequence analysis被引用 7

一句话总结

该论文将 Yoshida 的方法扩展至构造量子哈密顿量模拟的 10 阶乘积公式，发现了超过 600 种新的 8 阶和 10 阶公式，其误差显著降低。该研究提出了一种 8 阶公式，其精度比 Yoshida 的最佳结果高出 1,000 倍以上，在实际应用中优于 Yoshida 和 Suzuki 的方法，尤其在量子化学模拟中表现优异，此时 $T/\epsilon \sim 10^8$ 是典型值。

ABSTRACT

Quantum algorithms for simulation of Hamiltonian evolution are often based on product formulae. The fractal methods give a systematic way to find arbitrarily high-order product formulae, but result in a large number of exponentials. On the other hand, product formulae with fewer exponentials can be found by numerical solution of simultaneous nonlinear equations. It is also possible to reduce the cost of long-time simulations by processing, where a kernel is repeated and a processor need only be applied at the beginning and end of the simulation. In this work, we found thousands of new product formulae, and numerically tested these formulae, together with many formulae from prior literature. We provide methods to fairly compare product formulae of different lengths and different orders. For the case of 8th order, we have found new product formulae with exceptional performance, about two orders of magnitude better accuracy than prior work, both in the processed and non-processed cases. The processed product formula provides the best performance due to being shorter than the non-processed product formula. It outperforms all other tested product formulae over a range of many orders of magnitude in system parameters $T$ (time) and $ε$ (allowable error). That includes reasonable combinations of parameters to be used in quantum algorithms, where the size of the simulation is large enough to be classically intractable, but not so large it takes an impractically long time on a quantum computer.

研究动机与目标

• 将 Yoshida 的方法系统性地扩展至 10 阶，以构造高于 8 阶的高阶乘积公式。
• 寻找在指数项数量最少的前提下误差最小的 8 阶和 10 阶乘积公式。
• 开发一种系统化方法，基于误差标度对不同阶数和项数的乘积公式进行比较。
• 评估新公式相对于现有方法（如 Suzuki 的分形方法和 Yoshida 的解）的实际性能。
• 确定在量子化学模拟中，更高阶公式提供实际优势的阈值 $T/\epsilon$。

提出的方法

• 通过推导并求解自由参数的非线性多项式方程组，将 Yoshida 的基于假设的方法扩展至 10 阶。
• 提出一种新颖的泰勒级数展开方法以推导乘积公式，为 Yoshida 的多项式方法提供替代方案。
• 使用数值求解器求解多项式方程组，识别出数百种新的 8 阶和 10 阶公式。
• 采用归一化误差度量 $\chi$ 比较不同阶数和项数的公式，同时考虑误差标度和指数项数量。
• 基于对 10,000 个随机哈密顿量的模拟，利用 $\chi$-基比较估算性能优势的阈值 $T/\epsilon$。
• 通过比较公式间的误差标度并针对 Suzuki 的分形方法和 Yoshida 的已知解进行基准测试，验证了结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 Yoshida 的方法能否系统性地扩展至构造 10 阶乘积公式，且指数项数量最少？
• RQ2 8 阶乘积公式的最小误差是多少？与 Yoshida 的已知解相比如何？
• RQ3 在实际应用中，8 阶公式在什么 $T/\epsilon$ 值下优于 6 阶或 4 阶公式？
• RQ4 在考虑指数项数量的前提下，新 10 阶公式的性能如何与现有方法比较？
• RQ5 在量子化学模拟中，10 阶公式相对于 8 阶公式提供实际优势的阈值 $T/\epsilon$ 是多少？

主要发现

• 作者发现了超过 600 种新的 8 阶乘积公式，其中一种公式的误差比 Yoshida 的最佳 8 阶解低超过 1,000 倍。
• 构建了一种 10 阶乘积公式，其项数最少，成功将 Yoshida 的方法扩展至 8 阶以上。
• 所找到的最佳 8 阶公式具有 $\chi$ 值 $5.7 \times 10^{-7}$，表明其在 $T/\epsilon \sim 1600$ 时即优于低阶公式，远低于典型量子化学应用中的值。
• 10 阶公式优于 8 阶公式的阈值估计为 $T/\epsilon \sim 6.4 \times 10^{11}$，远高于量子化学模拟的预期值（$T/\epsilon \sim 10^8$）。
• 对于 $T/\epsilon \sim 10^8$ 的量子化学应用，新 8 阶公式预计为最优选择，因为 6 阶公式性能较差，而 10 阶公式无实际优势。
• 项数超过最小值的公式（例如 $m=16$）可将误差进一步降低 100 倍，实现比 Yoshida 的 8 阶公式高 1,000 倍的改进。