[论文解读] Selection of measures for a potential with two maxima at the zero temperature limit

Alexandre Baraviera, Renaud Leplaideur+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2010

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 19被引用 12

一句话总结

本文研究了在三符号有限型子移位上，对 Hölder 连续势函数的吉布斯测度在零温极限下的行为，该势函数有两个最大测度——分别为在不动点 0^∞ 和 1^∞ 处的 Dirac 测度。尽管势函数在 0^∞ 处更平坦，研究结果表明，吉布斯测度并不总是收敛到最平坦点的 Dirac 测度；相反，它可能选择两个测度的凸组合，且选择行为在势参数 α 上表现出不连续性和非单调性。

ABSTRACT

For the subshift of finite type $§=\{0,1,2\}^{\N}$ we study the convergence at temperature zero of the Gibbs measure associated to a non-locally constant Hölder potential which admits only two maximizing measures. These measures are Dirac measures at two different fixed points. The potential is flattest at one of these two fixed points. The question we are interested is: which of these probabilities the invariant Gibbs state will select when temperature goes to zero? We prove that on the one hand the Gibbs measure converges, and at the other hand it does not necessarily converge to the measures where the potential is the flattest. We consider a family of potentials of the above form; for some of them there is the selection of a convex combination of the two Dirac measures, and for others there is a selection of the Dirac measure associated to the flattest point. In the first case this is contrary to what was expected if we consider the analogous problem in Aubry-Mather theory by N. Anantharaman, R. Iturriaga, P. Padilla and H. Sanchez-Morgado. The invariant probability is obtained by the junction of the eigen-function and the eigen-probability. A curious phenomena that happens in our examples is that the eigen-measure and the eigen-function have opposite behavior. When $β o \infty$, the eigen-measure became exponential bigger around $0^\infty$, when compared to points around $1^\infty$. For the eigen-function the opposite happens.

研究动机与目标

• 分析在三符号子移位上，具有两个最大测度的非局部常数 Hölder 势函数的吉布斯测度在零温极限下的行为。
• 确定在零温下是否如 Aubry-Mather 理论所暗示的那样，选择在势函数最平坦点处的测度。
• 研究当存在多个最大测度时，极限测度的收敛行为及其性质。
• 探讨势函数的曲率及参数 α 在决定选择结果中的作用。
• 证明收敛性并非总是成立，且选择过程可能表现出不连续性和非平凡形式。

提出的方法

• 在全移位 Σ = {0,1,2}^ℕ 上定义 Hölder 势函数 A(x)，其在 0^∞ 和 1^∞ 附近的柱集上取不同值，其余位置为常数。
• 使用转移算子构造与 βA 关联的吉布斯测度 μ_β，其中 β → ∞ 对应于零温极限。
• 通过级数展开和尾部估计，分析在两个不动点处特征函数值之比 H(0^∞)/H(1^∞) 的渐近行为。
• 通过将测度分解为有限柱集的贡献，并利用特征函数-特征测度对偶性，估计柱集概率之比 μ([0])/μ([1])。
• 应用一个技术性引理，控制有限柱集贡献的相对权重，表明比值 μ([0])/μ([1]) 的渐近行为由 e^β × H(0^∞)/H(1^∞) 决定。
• 通过压力和特征函数尾部的渐近分析，推导出当 β → ∞ 时吉布斯测度的极限行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在零温下，吉布斯测度是否总是收敛到势函数最平坦点处的 Dirac 测度？
• RQ2 当存在多个最大测度时，极限不变测度的选择由什么决定？
• RQ3 势函数中的参数 α 如何影响吉布斯测度的极限行为？
• RQ4 即使一个势函数最大值更平坦，极限测度是否仍可能为两个 Dirac 测度的非平凡凸组合？
• RQ5 选择过程是否关于势函数参数连续，还是可能表现出不连续性？

主要发现

• 当 α < 1 时，比值 H(0^∞)/H(1^∞) 随 β 指数增长，因此吉布斯测度选择一个偏向 0^∞ 的 δ_{0^∞} 与 δ_{1^∞} 的凸组合。
• 当 α = 1 时，e^β × H(0^∞)/H(1^∞) 的极限为黄金比例 (1+√5)/2，表明存在非平凡选择，且偏向 0^∞。
• 当 α > 1 时，比值 H(0^∞)/H(1^∞) 趋近于 1，因此吉布斯测度收敛为两个 Dirac 测度的平衡凸组合。
• 在 α = 1 处选择行为不连续：极限比值从 α < 1 时的 ∞ 跳变至 α = 1 时的 (1+√5)/2，再跳至 α > 1 时的 1。
• 特征测度与特征函数表现出相反行为：当 β → ∞ 时，特征测度在 0^∞ 处更加集中，而特征函数则偏好 1^∞，因此分析中需精细控制。
• 吉布斯测度的收敛性在一般情况下并非保证成立，即使收敛，极限也可能是非平凡凸组合，与 Aubry-Mather 理论的预期相悖。