[论文解读] Selection problems for a discounted degenerate viscous Hamilton--Jacobi equation

Hiroyoshi Mitake, Hung V. Tran|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 20被引用 4

一句话总结

该论文证明了当折扣参数 ε→0 时，折扣退化粘性哈密顿-雅可比方程的解一致收敛于唯一解的遍历问题。通过非线性伴随方法和一个新颖的交换引理，作者利用随机Mather测度刻画了极限解，将先前从一阶方程推广到具有退化扩散的粘性方程的结果。

ABSTRACT

We prove that the solution of the discounted approximation of a degenerate viscous Hamilton--Jacobi equation with convex Hamiltonians converges to that of the associated ergodic problem. We characterize the limit in terms of stochastic Mather measures by naturally using the nonlinear adjoint method, and deriving a commutation lemma. This convergence result was first achieved by Davini, Fathi, Iturriaga, and Zavidovique for the first order Hamilton--Jacobi equation.

研究动机与目标

• 建立折扣退化粘性哈密顿-雅可比方程的解 $ u^{\varepsilon} $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时收敛于遍历问题的解。
• 通过随机Mather测度刻画极限解，将动力系统方法推广至粘性方程。
• 为退化粘性HJ方程开发适用于该类问题的交换引理和非线性伴随方法。
• 在哈密顿函数为凸且扩散项退化的情况下，证明收敛对整个序列 $ \varepsilon \to 0 $ 成立，而不仅限于子序列。
• 将选择问题结果从一阶HJ方程推广至具有 $ a(x) \geq 0 $ 的粘性HJ方程，包括 $ a \equiv 0 $ 的情形。

提出的方法

• 应用非线性伴随方法推导出一个交换引理，将粘性解与分布解联系起来。
• 通过关联的随机控制问题的动力学，构造退化扩散 $ a(x)\Delta u $ 的随机Mather测度。
• 利用交换引理证明粘性次解几乎处处为次解，从而实现正则性和收敛性分析。
• 通过将 $ u^{\varepsilon} $ 与集合 $ \mathcal{E} $ 中的测试函数进行比较，建立 $ u^{\varepsilon} $ 到遍历解 $ u^0 $ 的一致收敛性，其中 $ \mathcal{E} $ 定义为满足特定积分条件的解。
• 通过子序列分析证明收敛性：证明 $ \liminf_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(x) \geq u^0(x) $ 与 $ \limsup_{\varepsilon \to 0} u^\varepsilon(x) \leq u^0(x) $，从而推出一致收敛。
• 使用光滑化和测试函数的 $ \eta $-正则化方法处理 $ a(x) $ 的退化性，证明误差项的收敛率为 $ \eta^{1/2} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 折扣退化粘性哈密顿-雅可比方程的解 $ u^\varepsilon $ 是否在 $ \varepsilon \to 0 $ 时一致收敛于遍历问题的解？
• RQ2 对于退化扩散情形，极限解是否能通过随机Mather测度进行刻画？
• RQ3 非线性伴随方法如何适配具有退化扩散的粘性HJ方程？
• RQ4 解 $ u^\varepsilon $ 到遍历解的收敛性是否对整个序列 $ \varepsilon \to 0 $ 成立，而不仅限于子序列？
• RQ5 交换引理在退化情形下如何连接粘性解与分布解？

主要发现

• 折扣方程 $ \varepsilon u^\varepsilon + H(x, Du^\varepsilon) = a(x)\Delta u^\varepsilon $ 的解 $ u^\varepsilon $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时一致收敛于遍历问题 $ H(x, Du^0) = a(x)\Delta u^0 $ 的解 $ u^0 $。
• 极限解 $ u^0 $ 被唯一刻画为所有满足 $ \phi(x) \leq \int_{\mathbb{T}^n \times \mathbb{R}^n} \phi(x) \, d\nu(x,p) $ 的函数 $ \phi \in \mathcal{E} $ 的上确界，其中 $ \nu $ 为随机Mather测度。
• 提出一个新的交换引理，表明粘性HJ方程的粘性次解几乎处处为次解，这对收敛性证明至关重要。
• 正则化误差项 $ R_2^\eta $ 的收敛率被证明为 $ \eta^{1/2} $，与光滑化函数 $ S^\eta $ 的收敛率一致。
• 该证明将选择问题结果从一阶HJ方程（其中 $ a \equiv 0 $）推广至具有退化扩散的粘性HJ方程，通过随机Mather测度提供统一框架。
• 极限解 $ u^0 $ 与子序列的选择无关，证明了整个序列 $ u^\varepsilon $ 在 $ \varepsilon \to 0 $ 时一致收敛于 $ u^0 $。