[论文解读] Selective but not Ramsey

Timothy Trujillo|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2013

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 7

一句话总结

该论文通过在源自有限树的特定空间上使用近乎约化（almost-reduction）的力迫法，构造了首个已知的在拓扑拉姆齐空间中为选择性但非拉姆齐的超滤子。对于每个正整数 $ n $，证明了 $ \mathcal{R}_n $ 上选择性与拉姆齐超滤子的概念并不等价，从而以否定方式解决了多布里宁提出的问题，适用于非埃伦特克空间。

ABSTRACT

We give a partial answer to the following question of Dobrinen: For a given topological Ramsey space $\mathcal{R}$, are the notions of selective for $\mathcal{R}$ and Ramsey for $\mathcal{R}$ equivalent? Every topological Ramsey space $\mathcal{R}$ has an associated notion of Ramsey ultrafilter for $\mathcal{R}$ and selective ultrafilter for $\mathcal{R}$ (see \cite{MijaresSelective}). If $\mathcal{R}$ is taken to be the Ellentuck space then the two concepts reduce to the familiar notions of Ramsey and selective ultrafilters on $ω$; so by a well-known result of Kunen the two are equivalent. We give the first example of an ultrafilter on a topological Ramsey space that is selective but not Ramsey for the space, and in fact a countable collection of such examples. For each positive integer $n$ we show that for the topological Ramsey space $\mathcal{R}_{n}$ from \cite{Ramsey-Class2}, the notions of selective for $\mathcal{R}_{n}$ and Ramsey for $\mathcal{R}_{n}$ are not equivalent. In particular, we prove that forcing with a closely related space using almost-reduction, adjoins an ultrafilter that is selective but not Ramsey for $\mathcal{R}_{n}$. Moreover, we introduce a notion of finite product among members of the family $\{\mathcal{R}_{n}: n

研究动机与目标

• 解决多布里宁关于选择性与拉姆齐超滤子在任意拓扑拉姆齐空间中是否等价的开放问题。
• 为给定的拓扑拉姆齐空间显式构造选择性但非拉姆齐超滤子的例子。
• 将分析扩展至拓扑拉姆齐空间的有限积，并展示类似的非等价结果。
• 研究现有方法在将这些结果推广至拉姆齐层次的不可数层级（如 $ \alpha \geq \omega $）时的局限性。

提出的方法

• 对每个 $ n \in \mathbb{N}^+ $，从高度为 $ n $ 的树 $ T_n $ 定义一个拓扑拉姆齐空间 $ \mathcal{R}_n $，并构造一个具有近乎约化的相关空间 $ \mathcal{R}_n^\star $。
• 使用力迫 $ (\mathcal{R}_n^\star, \leq^*) $ 添加一个泛函滤子 $ \mathcal{G} $，并通过映射 $ \Gamma: \mathcal{R}_n^\star \to \mathcal{R}_n $ 将 $ \mathcal{G} $ 提升为 $ [T_n] $ 上的超滤子。
• 构造 $ \binom{T_n}{r_2(T_n)} $ 的一个划分 $ \{\Pi_0, \Pi_1\} $，使得对所有 $ S \in \Gamma''\mathcal{G} $，均有 $ \binom{S}{r_2(T_n)} \not\subseteq \Pi_0 $ 且 $ \not\subseteq \Pi_1 $，从而破坏拉姆齐性质。
• 通过证明其满足对角化条件（即：对任意递减序列，存在一个伪交集属于该超滤子），证明所生成的超滤子是选择性的。
• 将构造方法扩展至有限积 $ \mathcal{H}^n = \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1 $，使用积空间 $ \mathcal{R}_1^\star \otimes \cdots \otimes \mathcal{R}_1^\star $，并证明相同的非拉姆齐、选择性行为依然成立。
• 利用近乎约化的概念，确保力迫条件保持必要的组合结构，以区分选择性与拉姆齐超滤子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于给定的拓扑拉姆齐空间 $ \mathcal{R} $，选择性与拉姆齐超滤子的概念是否等价？
• RQ2 能否构造一个在埃伦特克空间以外的拓扑拉姆齐空间中为选择性但非拉姆齐的超滤子？
• RQ3 选择性与拉姆齐超滤子的非等价性是否在拓扑拉姆齐空间的有限积中依然成立？
• RQ4 该构造能否推广至拉姆齐层次的不可数层级，如 $ \mathcal{R}_\alpha $（其中 $ \alpha \geq \omega $）？
• RQ5 埃伦特克空间是否是唯一使得选择性与拉姆齐超滤子重合的拓扑拉姆齐空间？

主要发现

• 对每个正整数 $ n $，存在一个拓扑拉姆齐空间 $ \mathcal{R}_n $，使得 $ \mathcal{R}_n $ 上的选择性与拉姆齐超滤子不等价。
• 通过使用近乎约化的 $ \mathcal{R}_n^\star $ 进行力迫，可在 $ [T_n] $ 上添加一个超滤子，该超滤子对 $ \mathcal{R}_n $ 是选择性的但非拉姆齐的。
• 非拉姆齐性质由 $ \binom{T_n}{r_2(T_n)} $ 的一个划分 $ \{\Pi_0, \Pi_1\} $ 所见证，使得对所有 $ i = 0,1 $，均不存在 $ S \in \Gamma''\mathcal{G} $ 满足 $ \binom{S}{r_2(T_n)} \subseteq \Pi_i $。
• 该方法可扩展至有限积：通过力迫 $ \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1^\star $ 添加的超滤子，对 $ \mathcal{H}^n = \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{R}_1 $ 是选择性的但非拉姆齐的。
• 由于底层树的无限高度，该构造无法推广至 $ \mathcal{R}_\alpha $（其中 $ \alpha \geq \omega $），因此该情形下等价性问题仍为开放。
• 本文确立了埃伦特克空间并非唯一使两种概念重合的空间，事实上，对于大多数已研究的拓扑拉姆齐空间，该等价性均不成立。