[论文解读] Selective Quantum State Tomography

Joshua Morris, Borivoje Dakić|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出了选择性量子态层析成像（SQST），一种方法，可使用固定且与维度无关的态样本数量来估计未知量子态的任意元素。通过利用互不偏置基（MUBs）和霍夫丁不等式，SQST 实现了误差为 $ \theta $ 时的样本复杂度为 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $，与标准层析成像相比，显著降低了内存、计算和测量开销。

ABSTRACT

We introduce the concept of selective quantum state tomography or SQST, a tomographic scheme that enables a user to estimate arbitrary elements of an unknown quantum state using a fixed measurement record. We demonstrate how this may be done with the following notable advantages (i) a number of state copies that depends only on the desired precision of the estimation, rather than the dimension of the unknown state; (ii) a similar reduction in the requisite classical memory and computational cost; (iii) an approach to state tomography using $O(ε^{-2}\log d)$ state copies for maximum norm error $ε$, as well as achieving nearly optimal bounds for full tomography with independent measurements. As an immediate extension to this technique we proceed to show that SQST can be used to generate an universal data sample, of fixed and dimension independent size, from which one can extract the mean values from a continuous class of operators on demand.

研究动机与目标

• 解决标准量子态层析成像在希尔伯特空间维度上呈指数增长的问题，该问题阻碍了对大尺寸量子系统的表征。
• 克服在后处理过程中存储和处理 $ d^2 $-维密度矩阵所带来的经典计算和内存负担。
• 实现在无需完整态重建或存储 $ d^2 $-维矩阵的情况下，直接选择性估计单个矩阵元素或算符的平均值。
• 在仅使用独立测量的前提下，实现接近最优的完整层析成像样本复杂度，同时保持维度无关的资源缩放。
• 证明存在一个固定大小的通用数据样本，从中可按需提取连续有界算符类的平均值。

提出的方法

• 利用互不偏置基（MUBs）定义一个具有 $ d(d+1) $ 个元素的正算子值测度（POVM），以实现对密度矩阵元素的高效且无偏估计。
• 采用随机测量协议，其中每个态样本在随机选择的 MUB 基中进行测量，测量结果通过经验平均法用于估计矩阵元素。
• 应用霍夫丁不等式来限制矩阵元素估计误差，得到误差为 $ \theta $ 时的样本复杂度为 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $，且与系统维度 $ d $ 无关。
• 将该方法推广至估计任意迹为零、有界的算符 $ A $ 的平均值，通过在 MUB 基中分解 $ A $，并控制系数 $ a_{km} $ 的估计误差。
• 利用弗罗贝尼乌斯范数和有界性条件 $ |a_{km}| \to K $，其中 $ K = O(1/d) $，确保对于有界算符，样本数量保持维度无关。
• 将框架扩展至同时估计 $ M $ 个算符，通过在样本复杂度中引入 $ \text{log} M $ 因子，保持维度无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以实现与希尔伯特空间维度 $ d $ 无关的样本数量的量子态层析成像，同时保持所需的精度？
• RQ2 是否可能在不重建完整态或存储 $ d^2 $-维矩阵的情况下，估计未知密度矩阵的单个矩阵元素？
• RQ3 是否可以使用一个固定大小的测量记录，按需提取连续有界算符类的平均值？
• RQ4 仅使用独立测量时，完整态层析成像的最优样本复杂度是多少？能否通过选择性方法逼近该复杂度？
• RQ5 所提出的方法是否避免了连续变量系统中常见的能量依赖误差缩放？如果是，原因是什么？

主要发现

• SQST 在估计误差为 $ \theta $ 时，对单个密度矩阵元素的样本复杂度为 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $，且与系统维度 $ d $ 无关。
• 该方法在仅使用独立测量的前提下，实现了近乎最优的完整层析成像，其复杂度与理论下限仅相差对数因子。
• 对于估计有界算符 $ A $ 的平均值，所需样本数量为 $ O(K^2 d^2 \theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $，但当 $ K = O(1/d) $ 时，该复杂度简化为 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $，从而确保维度无关性。
• 一个大小为 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $ 的通用固定大小测量记录，足以估计由 $ d(d+1) $ 个相位参数化的连续有界算符子流形中任意算符的平均值。
• 该方法避免了连续变量系统中典型的能量依赖误差缩放，表明在离散系统中具有根本性优势。
• 该方法在实验上是可行的，可使用标准量子门实现，因为 MUBs 可通过通用门集以线性代价实现。