[论文解读] Self-Averaging in Scaling Limits for Random High-Frequency Parabolic Waves

Albert Fannjiang|arXiv (Cornell University)|May 30, 2003

Microwave Imaging and Scattering Analysis参考文献 7被引用 2

一句话总结

本文在无序介质中建立了随机高频抛物波在标度极限下的自平均性，证明在随机折射率的一般条件下，空间多样性导致由输运方程支配的确定性行为——但不包括白噪声极限。关键贡献是通过严格的标度分析，证明了在辐射传输和扩散极限下统计稳定性的存在。

ABSTRACT

Abstract. We consider several types of scaling limits for the Wigner equation of the parabolic waves in random media, the limiting cases of which include the radiative transfer limit, the diffusion limit and the white-noise limit. We show under fairly general assumptions on the random refractive index field that any significant amount of spatial diversity (thus excluding the white-noise limit) leads to statistical stability or self-averaging in the sense that the limiting law is deterministic and is governed by various transport equations depending on the specific scaling involved. The celebrated Schrödinger equation

研究动机与目标

• 分析随机介质中抛物波的Wigner方程的标度极限。
• 确定在何种条件下，极限波行为变得统计稳定（即自平均）。
• 识别在辐射传输极限和扩散极限下控制极限行为的输运方程。
• 排除白噪声极限的自平均性，因其缺乏空间多样性。
• 建立在适当标度下，一般随机折射率场导致宏观确定性定律。

提出的方法

• 分析具有普遍随机折射率场的随机介质中抛物波方程的Wigner变换。
• 应用标度极限，推导高频、小相关长度区域的渐近方程。
• 使用矩方法和弱收敛技术研究Wigner分布的极限行为。
• 识别出极限律变为确定性的条件，意味着自平均性。
• 根据特定标度区域推导输运方程——包括辐射传输方程和扩散方程。
• 通过要求折射率场中存在非退化的空间多样性，排除白噪声极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，随机介质中抛物波的Wigner分布收敛到确定性极限？
• RQ2 折射率场中的空间多样性如何影响波传播中自平均性的出现？
• RQ3 哪些输运方程控制着在辐射传输极限和扩散极限下的极限行为？
• RQ4 为何白噪声极限无法表现出自平均性，它与其它标度区域有何不同？
• RQ5 在多大程度上，一般随机折射率场会导致宏观极限下普遍的确定性行为？

主要发现

• 只要折射率场具有足够的空间多样性，自平均性在所有标度极限中均成立，但白噪声极限除外。
• 极限波行为由确定性输运方程控制，包括辐射传输方程和扩散方程。
• 确定性极限源于对随机非均匀性进行空间平均所诱导的统计稳定性。
• 白噪声极限被排除在自平均性之外，因其缺乏空间相关结构，导致非确定性涨落。
• 结果在对随机折射率的相当一般假设下成立，包括遍历性和混合条件。
• 在标度极限下，Wigner分布弱收敛到输运方程的确定性解。