[论文解读] Self-dual cyclic codes over finite chain rings

Bocong Chen, San Ling+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 21被引用 3

一句话总结

本文研究了有限链环上自偶循环码的代数结构，证明此类码存在当且仅当环的极大理想之幂零指数 $ t $ 为偶数。本文给出了存在的显式必要与充分条件，并基于残基域 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的自反不可约因子个数，推导出一个计数公式，对具有两个素因子的 $ n $ 给出了闭式表达。

ABSTRACT

Let $R$ be a finite commutative chain ring with unique maximal ideal $\langle γ angle$, and let $n$ be a positive integer coprime with the characteristic of $R/\langle γ angle$. In this paper, the algebraic structure of cyclic codes of length $n$ over $R$ is investigated. Some new necessary and sufficient conditions for the existence of nontrivial self-dual cyclic codes are provided. An enumeration formula for the self-dual cyclic codes is also studied.

研究动机与目标

• 表征长度为 $ n $ 的有限链环 $ R $ 上循环码的代数结构，其中 $ n $ 与残基域 $ \mathbb{F}_q = R/\langle\gamma\rangle $ 的特征互素。
• 确定在该类环上存在非平凡自偶循环码的必要与充分条件。
• 推导出自偶循环码数量的计数公式，将其与 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的自反首一不可约因子个数关联起来。
• 计算 $ |\Omega_n| $，即 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的自反首一不可约因子个数，特别针对恰好有两个不同素因子的 $ n $。

提出的方法

• 将 [13] 中的方法推广，为 $ R $ 上长度为 $ n $ 的循环码推导出一种新的代数结构，与 [5] 中的先前工作不同。
• 利用环同态 $ R[X] \to \mathbb{F}_q[X] $，将 $ \mathbb{F}_q $ 上多项式的性质提升至 $ R $，利用 $ R[X] $ 与 $ \mathbb{F}_q[X] $ 中互素多项式之间的对应关系。
• 分析 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的首一不可约因子分解，聚焦于对偶因子与自反因子，以确定自偶码的条件。
• 将 $ |\Omega_{2^m n'}| $ 的计算简化为 $ |\Omega_{n'}| $ 与 $ |\overline{\Omega}_{n'}| $ 的计算，其中 $ \overline{\Omega}_{n'} $ 表示在 $ \mathbb{F}_{q^2} $ 上的自反因子个数。
• 应用关于 $ q $ 模 $ \ell_i^{r_i} $ 的阶数结果，根据 $ a_i = v_2(\text{ord}_{\ell_i^{r_i}}(q)) $ 对情况进行分类，从而在计数公式中引入情形划分。
• 当 $ n $ 恰好有两个素因子时，推导出 $ |\Omega_n| $ 的显式公式，根据 $ a_1 $ 与 $ a_2 $ 是否相等区分不同情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限链环 $ R $ 上，长度为 $ n $ 的非平凡自偶循环码在何种条件下存在？
• RQ2 极大理想 $ \langle\gamma\rangle $ 的幂零指数 $ t $ 如何影响自偶循环码的存在性？
• RQ3 长度为 $ n $ 的自偶循环码在 $ R $ 上的确切数量是多少？其如何由 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的因子分解决定？
• RQ4 对于具有两个素因子的 $ n $，如何高效计算 $ |\Omega_n| $，即 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的自反首一不可约因子个数？
• RQ5 结构 $ \text{ord}_d(q) $ 在分类自偶循环码数量方面起什么作用？

主要发现

• 在有限链环 $ R $ 上，长度为 $ n $ 的自偶循环码存在当且仅当极大理想 $ \langle\gamma\rangle $ 的幂零指数 $ t $ 为偶数。
• 当 $ t $ 为偶数时，自偶循环码的数量完全由 $ |\Delta_n| $ 决定，其中 $ |\Delta_n| $ 表示 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的首一不可约因子分解中对偶多项式对的个数。
• 计算 $ |\Omega_n| $，即 $ \mathbb{F}_q $ 上 $ X^n - 1 $ 的自反首一不可约因子个数的问题，被简化为计算 $ |\Omega_{n'}| $ 与 $ |\overline{\Omega}_{n'}| $，其中 $ n = 2^m n' $ 且 $ n' $ 为奇数。
• 当 $ n = \ell_1^{r_1} \ell_2^{r_2} $，且 $ \ell_1, \ell_2 $ 为不同的奇素数时，$ |\Omega_n| $ 在两种子情形下被显式计算：当 $ a_1 = a_2 \geq 1 $ 时，其值为 $ \sum_{d \mid n} \frac{\phi(d)}{\text{ord}_d(q)} $；当 $ a_1 \neq a_2 $ 时，其值为 $ \sum_{d_1=0}^{r_1} \frac{\phi(\ell_1^{d_1})}{\text{ord}_{\ell_1^{d_1}}(q)} + \sum_{d_2=0}^{r_2} \frac{\phi(\ell_2^{d_2})}{\text{ord}_{\ell_2^{d_2}}(q)} - 1 $。
• 当 $ a_1 = 0 $ 或 $ a_2 = 0 $ 时，公式简化为：$ |\Omega_n| = |\Omega_{\ell_2^{r_2}}| $ 或 $ |\Omega_n| = |\Omega_{\ell_1^{r_1}}| $，分别对应。