[论文解读] Self-dual, dual-containing and related quantum codes from group rings

Ted Hurley|ArXiv.org|Nov 26, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖的代数方法，通过有限域（特别是GF(4)）上的群环构造自偶、含对偶及量子码。利用群环与矩阵环之间的同构关系，推导出具有显式生成矩阵和校验矩阵的码，实现了高码率和改进的最小距离——例如GF(4)上的$(2\times 4^m, 4^m, 2^{m+1})$自偶码，以及$(2\times 8^m, \frac{7}{4}\times 8^m, 2^m)$含对偶码——通过代数公式实现高效存储与低功耗实现。

ABSTRACT

Classes of self-dual codes and dual-containing codes are constructed. The codes are obtained within group rings and, using an isomorphism between group rings and matrices, equivalent codes are obtained in matrix form. Distances and other properties are derived by working within the group ring. Quantum codes are constructed from the dual-containing codes.

研究动机与目标

• 开发一种通用的代数框架，利用群环结构系统构造自偶和含对偶的量子码。
• 通过群环中零因子和单位导出的码，将可用量子码的范围扩展至循环和准循环构造之外。
• 通过代数公式实现高效存储和矩阵生成，降低计算与内存开销。
• 推导出高码率和改进最小距离的码，尤其适用于量子码应用。
• 探索在GF(4)上群环构造中使用对称和欧几里得内积，以提升码性能。

提出的方法

• 利用群环同构将代数群环元素映射为矩阵表示，从而实现显式生成矩阵和校验矩阵。
• 采用满足$u^{2^t} = 0$和$\text{rank}(u) = (2^t - 1)q$的对称群环元素$u$，构造码率为$\frac{2^t - 1}{2^t}$的含对偶码。
• 应用递归构造方法，利用如$u_i = (a_i + a_i^{2^t} + a_i^{2^{t+1}-1})u_{i-1}$等元素，在$C_2 \times C_{2^{t+1}}^m$上生成更长长度的码。
• 利用二面体群中的差集构造长度为$8m-2$的自偶码，最小距离为$m+3$，其最小距离与长度之比趋近于$\frac{1}{8}$。
• 通过本原元$\omega$在GF(4)上进行调整，定义$u_1 = \omega a_1 + a_2^2 + \omega a_1^3$，实现基于辛内积的含对偶码。
• 引入交错技术，将码扩展至更长长度，例如对任意$n \geq 1$，构造$(2\times(16n)^m, \frac{7}{4}\times(16n)^m, 2^m)$含对偶码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在传统循环或准循环构造之外，通过群环模方法系统地构造自偶和含对偶码？
• RQ2 如何利用代数群环结构生成高码率和改进最小距离的码？
• RQ3 对称元素和幂零条件（$u^{2^t} = 0$）在构造具有已知秩和对偶包含关系的含对偶码中起什么作用？
• RQ4 这些方法能否扩展至非二元域（如GF(4)），以利用辛内积提升量子码性能？
• RQ5 通过递归或交错群环元素，该构造在多大程度上可推广以生成更高码率的含对偶码？

主要发现

• 本文利用欧几里得内积在GF(4)上构造了$(2\times 4^m, 4^m, 2^{m+1})$自偶码，示例包括$(8,4,4)$、$(32,16,8)$和$(128,64,16)$。
• 利用辛内积在GF(4)上生成了$(2\times 8^m, \frac{7}{4}\times 8^m, 2^m)$含对偶码，码率达$\frac{7}{8}$，示例如$(1024,768,8)$。
• 对于二面体群，构造了长度为$8m-2$、最小距离为$m+3$的自偶码，如$(22,11,6)$、$(38,19,8)$和$(54,27,10)$，其性能在长度上为最优。
• 该方法还生成了$(2\times 6^m, 6^m, 2^{m+1})$自偶码，包括$(12,6,4)$、$(72,36,8)$和$(432,216,16)$，此前除小规模情况外，尚无已知的显式矩阵描述。
• 该构造支持代数化存储与按需生成矩阵，相比标准查表法显著降低内存与功耗。
• 交错技术使可扩展的含对偶码形式为$(2\times(16n)^m, \frac{7}{4}\times(16n)^m, 2^m)$，适用于任意$n \geq 1$，显著扩展了适用码的范围。