[论文解读] Self-dual Repeated Root Cyclic and Negacyclic Codes over Finite Fields

Kenza Guenda, T. Aaron Gulliver|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2012

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 8

一句话总结

本文研究了特征为 $p$ 的有限域上的自偶重复根循环码与负循环码，为奇素数 $p$ 时长度为 $mp^r$ 的自偶负循环码的存在性提供了必要且充分的条件。通过环同构刻画了生成多项式，并基于模 $p$ 下 2 的阶，解决了关于长度中包含满足 $\equiv 1 \pmod{8}$ 的素因子的自偶循环码计数问题。主要贡献在于对自偶负循环码的完整刻画，以及对循环码计数中长期存在的开放问题的解决。

ABSTRACT

In this paper we investigate repeated root cyclic and negacyclic codes of length $p^rm$ over $\mathbb{F}_{p^s}$ with $(m,p)=1$. In the case $p$ odd, we give necessary and sufficient conditions on the existence of negacyclic self-dual codes. When $m=2m'$ with $m'$ odd, we characterize the codes in terms of their generator polynomials. This provides simple conditions on the existence of self-dual negacyclic codes, and generalizes the results of Dinh \cite{dinh}. We also answer an open problem concerning the number of self-dual cyclic codes given by Jia et al. \cite{jia}.

研究动机与目标

• 刻画在奇素数 $p$ 且 $(m,p)=1$ 时，长度为 $mp^r$ 的 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上自偶负循环码的性质。
• 通过 $x^{mp^r}+1$ 的因式分解及自反多项式性质，确定此类自偶负循环码存在的必要且充分条件。
• 解决 Jia 等人提出的关于 $\mathbb{F}_{2^s}$ 上长度为 $2^r m$ 的自偶循环码数量的开放问题，特别是当 $m$ 包含满足 $\equiv 1 \pmod{8}$ 的素因子时。
• 通过提供显式的生成多项式与结构条件，扩展先前关于重复根常循环码的研究结果。

提出的方法

• 将 $x^{mp^r}+1 = (x^m+1)^{p^r}$ 在 $\mathbb{F}_{p^s}$ 上分解为不可约且两两互素的因子，其中 $x^m+1$ 进一步分解为自反与互为共轭的因子对。
• 利用环同构，显式描述自偶负循环码的生成多项式为形如 $h_j^{b_j}(x)h_j^{*p^r - b_j}(x)$ 的乘积，其中 $h_j, h_j^*$ 构成共轭对。
• 应用对偶性条件 $A(x) = B^*(x)$，其中 $B(x) = (x^n + 1)/A(x)$，推导出自偶性的必要且充分条件。
• 通过群论论证分析模 $p$ 下 2 的阶，以确定 $p \equiv 1 \pmod{8}$ 情况下自偶循环码的存在条件。
• 利用文献 [6]、[11] 和 [9] 的结果，建立自偶码存在的条件，特别是在 $ord_q(p^2)$ 为偶数时。
• 利用恒等式 $x^{2mp^r} - 1 = (x^m - 1)^{p^r}(x^m + 1)^{p^r}$，将循环码分解为由 $f_i(x)^{\alpha_i}$ 与 $f_i(-x)^{\beta_i}$ 生成的理想，其中 $f_i$ 整除 $x^m - 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 为奇素数且 $(m,p)=1$ 时，$\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $mp^r$ 的自偶负循环码存在的必要且充分条件是什么？
• RQ2 当 $m = 2m'$ 且 $m'$ 为奇数时，如何显式刻画自偶负循环码的生成多项式？
• RQ3 在 $m$ 包含满足 $p \equiv 1 \pmod{8}$ 的素因子时，$\mathbb{F}_{2^s}$ 上长度为 $2^r m$ 的自偶循环码存在的条件是什么？
• RQ4 当 $p \equiv 1 \pmod{8}$ 且 $ord_p(2) = 2^k e$ 时，$\mathbb{F}_{2^s}$ 上长度为 $2^r p^\alpha$ 的自偶循环码的确切数量是多少？
• RQ5 当 $ord_q(p^2)$ 为偶数时，它在 $\mathbb{F}_p$ 或 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上长度为 $2q^\alpha p$ 的自偶负循环码不存在的条件是什么？

主要发现

• 当且仅当 $x^m + 1$ 的因式分解中不包含自反不可约因子时，$\mathbb{F}_{p^s}$ 上长度为 $mp^r$ 的自偶负循环码存在。
• 当 $m = 2m'$ 且 $m'$ 为奇数时，自偶负循环码由形如 $\prod_{j=1}^t h_j^{b_j}(x) h_j^{*p^r - b_j}(x)$ 的多项式生成，其中 $h_j, h_j^*$ 构成共轭对。
• 当 $p \equiv 1 \pmod{8}$ 时，若 $s = 2^l$ 且 $0 < l < k$，其中 $ord_p(2) = 2^k e$，则 $\mathbb{F}_{2^s}$ 上长度为 $2^r p^\alpha$ 的自偶循环码数量唯一确定，且此类码由 $g(x) = (x^{p^\alpha} + 1)^{2^{r-1}}$ 生成。
• 当 $ord_q(p^2)$ 为偶数时，$\mathbb{F}_p$ 或 $\mathbb{F}_{p^2}$ 上长度为 $2q^\alpha p$ 的自偶负循环码不存在，解决了先前工作中遗留的这一情况。
• 对于 $p=5$，$q=13$ 和 $q=17$，由于 $ord_q(p^2)$ 为偶数，$\mathbb{F}_5$ 或 $\mathbb{F}_{25}$ 上长度为 130、170 或 1690 的自偶负循环码均不存在。
• 本文通过证明在 $ord_p(2)$ 满足特定阶条件时的唯一性，完全刻画了所有情况下的自偶循环码数量，从而解决了 Jia 等人提出的开放问题。