[论文解读] Self-inverses in Rauzy Classes

Jonathan Michael Fickenscher|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文证明了每个区间交换变换的Rauzy类中至少包含一个自逆排列，通过使用对称块的显式构造方法。此外，本文建立了广义Rauzy类包含自逆广义排列的充要条件，并证明自逆排列是拉格朗日的，从而为阿贝尔微分中周期性垂直轨迹的Forni引理由提供了新证明。

ABSTRACT

Thanks to works by M. Kontsevich and A. Zorich followed by C. Boissy, we have a classification of all Rauzy Classes of any given genus. It follows from these works that Rauzy Classes are closed under the operation of inverting the permutation. In this paper, we shall prove the existence of self-inverse permutations in every Rauzy Class by giving an explicit construction of such an element satisfying the sufficient conditions. As a corollary, we will give another proof that every Rauzy Class is closed under taking inverses. In the case of generalized permutations, generalized Rauzy Classes have been classified by works of M. Kontsevich, H. Masur and J. Smillie, E. Lanneau, and again C. Boissy. We state the definition of self-inverse for generalized permutations and prove a necessary and sufficient condition for a generalized Rauzy Class to contain self-inverse elements.

研究动机与目标

• 证明每个真Rauzy类中至少包含一个自逆排列。
• 通过使用对称块模式，提供此类自逆排列的显式构造方法。
• 通过识别自逆广义排列存在的必要与充分条件，将结果推广至广义Rauzy类。
• 建立自逆排列与平坦曲面同调中拉格朗日子空间之间的联系。
• 为Forni引理由4.4（关于阿贝尔微分中周期性垂直轨迹所张成空间的维数）提供一种替代证明。

提出的方法

• 通过保持Rauzy类所需符号和类型的对称块的连接构造自逆排列。
• 利用Rauzy归纳将排列与其逆共轭的事实，表明其在取逆下封闭。
• 应用由符号和类型分类Rauzy类的结果（推论1.22）以验证所构造排列的成员资格。
• 对于广义排列，引入块插入技术以控制符号并满足奇点度数的奇偶性条件。
• 将拉格朗日排列定义为那些其悬垂的垂直轨迹在同调中张成g维子空间的排列，并证明自逆排列是拉格朗日的。
• 使用辛形式与线性代数方法，验证轨迹向量的线性无关性，从而确认拉格朗日性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个Rauzy类是否都包含一个自逆排列？
• RQ2 广义Rauzy类需满足何种条件才能包含一个自逆广义排列？
• RQ3 自逆排列与平坦曲面同调中的拉格朗日子空间有何关联？
• RQ4 自逆元素的存在是否可用于重新证明关于阿贝尔微分中周期性垂直轨迹的已知结果？
• RQ5 块结构在构造保持Rauzy类不变量的自逆排列中起什么作用？

主要发现

• 通过使用对称块的显式构造，证明了每个真Rauzy类中至少包含一个自逆排列。
• 当且仅当每个奇数度数（≥ -1）的奇点数量为偶数，且度数为0的奇点总数为偶数时，广义Rauzy类包含一个自逆广义排列。
• 自逆排列是拉格朗日的，即其悬垂的垂直轨迹在同调中张成一个g维子空间。
• 排列π = (d, d−1, ..., 2, 1)是换位拉格朗日的，因为其关联的轨迹向量线性无关。
• 通过块构造的自逆排列是换位拉格朗日的，其轨迹向量的线性无关性通过辛配对论证得到验证。
• 该结果为Forni引理由4.4提供了替代证明，表明周期性垂直轨迹所张成的空间在阿贝尔微分的模空间中维数为g。