[论文解读] Self-normalized Cramér Type Moderate Deviations under Dependence

Xiaohong Chen, Qi-Man Shao+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2014

Statistical Methods and Inference参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文在弱依赖条件下，基于两种基于块的方案——大块小块法与交错法——建立了自标准化和的Cramér型中等偏差结果，适用于弱矩条件下的弱依赖数据。研究结果表明，即使在依赖条件下，自标准化仍能扩展高斯近似的适用范围，相较于非自标准化版本表现更优，其中交错法在有限样本下表现更佳。

ABSTRACT

We establish a Cramér-type moderate deviation result for self-normalized sums of weakly dependent random variables, where the moment requirement is much weaker than the non-self-normalized counterpart. The range of the moderate deviation is shown to depend on the moment condition and the degree of dependence of the underlying processes. We consider two types of self-normalization: the big-block-small-block scheme and the interlacing or equal-block scheme. Simulation study shows that the latter can have a better finite-sample performance. Our result is applied to multiple testing and construction of simultaneous confidence intervals for high-dimensional time series mean vectors.

研究动机与目标

• 填补弱依赖、重尾时间序列中自标准化和的中等偏差理论空白。
• 在最小矩条件约束下，将自标准化极限理论从独立过程推广至弱依赖过程。
• 提出两种适用于依赖数据的基于块的自标准化方案（大块小块法与交错法）。
• 证明在相同矩条件与依赖条件下，自标准化相比非自标准化版本能获得更宽的高斯近似范围。
• 为在依赖条件下进行高维推断时使用自标准化统计量提供理论依据。

提出的方法

• 提出两种基于块抽样的自标准化和统计量：大块小块法与交错（等块）法。
• 利用函数依赖度量与β-混合系数来量化非线性时间序列中的弱依赖性。
• 通过鞅逼近与指数尾部概率界建立中等偏差结果，特别利用引理6.3处理负偏差概率。
• 应用Burkholder不等式与投影技术控制块和及其条件期望的矩。
• 推导尾部概率与标准正态尾部概率之比的界，证明其渐近等价于可控误差项。
• 通过交错法提升有限样本性能，仿真结果验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱依赖与弱矩条件下，自标准化和是否仍能保持较宽的高斯近似范围？
• RQ2 块方案的选择（大块小块法 vs. 交错法）如何影响自标准化中等偏差近似的有限样本性能？
• RQ3 依赖性与矩条件对自标准化统计量中等偏差范围有何影响？
• RQ4 在依赖时间序列中，自标准化统计量是否可被可靠地用于高维推断？
• RQ5 函数依赖度量与β-混合系数如何影响中等偏差结果中的理论界？

主要发现

• 仿真结果表明，交错法的自标准化和在有限样本下性能优于大块小块法。
• 在弱依赖与弱矩条件下，自标准化和的中等偏差范围比非自标准化和更宽，且在相同矩约束下表现更优。
• 对于满足 $ E|X_i|^{2+ u} < ty $ 的i.i.d.序列，自标准化和的中等偏差范围为 $ O(n^{1/2}) $，与i.i.d.情形一致。
• 中等偏差范围同时依赖于矩条件 $ u $ 与依赖程度，其中交错法实现了更大的有效范围。
• 在弱矩与弱依赖条件下，对于 $ x $ 达到 $ O(n^{1/2}) $，比值 $ P(T_n o x) / (1 - \bar{\Phi}(x)) $ 的界为 $ \exp(O(1)(1+x)^{2+ u}/d_{n, u}^{2+ u}) $。
• 理论结果被推广至高维时间序列均值向量的多重检验与同时置信区间，将先前仅适用于i.i.d.情形的方法推广至依赖设定。