[论文解读] Self-organized criticality in a discrete model for Smoluchowski's equation with limited aggregations

Mathieu Merle, Raoul Normand|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对有限聚集的 Smoluchowski 凝结方程的离散随机模型，其中超过大小阈值的聚集体发生凝胶化并变为非活性。该模型表现出自组织临界性：在凝胶化之前，聚集体大小服从次临界 Galton-Watson 分布；在凝胶化之后，服从临界 Galton-Watson 分布，且系统的渐近行为与 Smoluchowski 方程的流体动力学极限一致，为限制浓度的解析公式提供了明确解释。

ABSTRACT

We introduce and study a discrete random model for Smoluchowski's equation with limited aggregations. The latter is a model of coagulation introduced by Bertoin which may exhibit gelation. In our model, a large number of particles are initially given a prescribed number of arms. These arms are activated independently after exponential times and successively linked together. However, when the size of a cluster goes above a fixed threshold, it falls instantaneously into the gel, meaning that it no longer interacts with the other particles in solution. The concentrations in this model asymptotically obey Smoluchowski's equation with limited aggregations. In this article, we study the discrete features of this model. We are able to argue that it remains closely related with a configuration model. We specifically obtain explicit expressions for the parameters of this configuration model, which show that it is subcritical before gelation, but remains critical afterwards. As a consequence, the asymptotic distribution of a typical cluster in solution is that of a subcritical Galton-Watson tree before gelation, while it is that of a critical Galton-Watson tree after gelation. Our model therefore exhibits self-organized criticality. Our study relies heavily on the study of the configuration model in the critical window. One of the main results of the paper is an extension of a result of Janson and Luczak on the size of the largest components in this critical window. Finally, as a consequence of our explicit expressions, we provide an explanation of analytic formulas established by Normand and Zambotti regarding the limiting concentrations in Smoluchowski's equation.

研究动机与目标

• 建模具有有限聚集体大小限制的凝结过程，以模拟物理凝胶化。
• 建立一个离散随机系统，使其渐近行为符合具有有限聚集的 Smoluchowski 方程。
• 通过聚集体大小分布的转变，以数学上严格的方式证明自组织临界性。
• 将模型的动力学与配置模型联系起来，并扩展 Janson 和 Luczak 的临界窗口结果。
• 为 Normand 和 Zambotti 推导出的限制浓度的解析公式提供明确解释。

提出的方法

• 粒子初始化时具有固定数量的臂，这些臂在独立的指数等待时间后被激活。
• 臂成对连接形成聚集体，但超过固定阈值的聚集体立即发生凝胶化并停止参与进一步的凝结。
• 通过映射到配置模型对系统进行分析，推导出底层随机图过程的显式参数表达式。
• 将配置模型的临界窗口分析扩展至表征凝胶化前后最大连通分量的大小。
• 建立流体动力学极限，以证明向具有有限聚集的 Smoluchowski 方程的收敛性。
• 通过 Galton-Watson 分枝过程将模型的渐近行为与 Borel 分布联系起来，解释已知的解析解。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有限聚集的 Smoluchowski 凝结方程的离散随机模型是否表现出自组织临界性？
• RQ2 在凝胶化阈值处，聚集体大小分布如何从次临界行为演变为临界行为？
• RQ3 配置模型框架能否扩展以捕捉此凝结模型中的临界窗口行为？
• RQ4 该模型的参数与具有乘法核的 Smoluchowski 方程的已知解析解之间存在何种精确联系？
• RQ5 凝胶化时刻系统的行为转变如何影响聚集体大小的渐近分布？

主要发现

• 该模型与配置模型密切相关，其显式参数表达式在凝胶化时从次临界行为过渡到临界行为。
• 在凝胶化之前，典型聚集体大小的分布与次临界 Galton-Watson 树的分布一致。
• 在凝胶化之后，典型聚集体大小的分布与临界 Galton-Watson 树的分布一致，证实了自组织临界性。
• 本文将 Janson 和 Luczak 关于配置模型临界窗口中最大连通分量的结果扩展至本凝结模型情境。
• 该模型的渐近浓度分布与具有乘法核的 Smoluchowski 方程的已知解析解一致，特别是与泊松 Galton-Watson 过程总后代数的 Borel 分布一致。
• 质量分布的尾部行为在凝胶化前表现为指数衰减，凝胶化后变为指数为 $-1/2$ 的幂律衰减，与临界系统一致。