[论文解读] Self-organized "slimming" of power law tails by increasing market returns

Didier Sornette|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2000

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 2

一句话总结

本文提出了一种广义的理性泡沫模型，解决了以往模型中收益分布呈现指数小于1的幂律尾部，与经验观察相矛盾的问题。通过引入高于折现率的市场回报溢价，该模型表明更高的预期收益会导致尾部变薄和波动率上升，表明市场在小风险与极端风险之间实现了自组织平衡。

ABSTRACT

We introduce a simple generalization of rational bubble models which removes the fundamental problem discovered by [Lux and Sornette, 1999] that the distribution of returns is a power law with exponent less than 1, in contradiction with empirical data. Our model predicts that, the higher is the market remuneration above the discount rate, the thinner is the tail of price returns but the larger is the volatility. Financial markets seem to have self-organized to balance “small ” and extreme risks. 1 The fundamental constraint on distribution of returns of rational bubbles Since the publication of the original contributions on rational expectations (RE) bubbles by [Blanchard, 1979] and [Blanchard and Watson, 1982], a huge literature has emerged on theoretical refinements of the original concept and the empirical detectability of RE bubbles in financial data (see [Camerer, 1989] and [Adam and Szafarz, 1992], for surveys of this literature). Recently, [Lux and Sornette, 1999] studied the implications of the bubble models for the unconditional distribution of prices, price changes and returns resulting from a very general discrete-time formulation of rational speculative bubbles: Bt+1 = atBt + bt, (1) where at and bt i.i.d. random variables drawn from some non-degenerate probability density function (pdf) Pa(a) and Pb(b) respectively with E[bt] = 0. In (1), Bt denotes the difference between the observed price and the fundamental price and can thus be negative. Denoting E[.] the expectation operator, provided E[ln a] < 0 (stationarity condition) and if there is a number µ such that 0 < E[|b | µ] < +∞, E[|a | µ] = 1 (2) and E[|a | µ ln |a|] < +∞, then the tail of the distribution of B is asymptotically a power law

研究动机与目标

• 解决理性泡沫模型中的根本性不一致问题，即收益分布呈现指数小于1的幂律尾部，与经验数据相矛盾。
• 研究高于折现率的市场回报如何影响价格收益的尾部分布行为与波动率。
• 探讨金融市场是否通过泡沫形成中的结构性动态自组织以平衡小风险与极端风险。
• 将离散时间理性泡沫模型（Bt+1 = atBt + bt）广义化，以允许与经验观察一致的幂律尾部分布行为。
• 建立条件，使泡沫分量Bt的分布表现出渐近幂律尾部，且幂律指数与经验数据相符。

提出的方法

• 将离散时间理性泡沫模型 Bt+1 = atBt + bt 广义化，其中 at 和 bt 为具有给定概率密度函数的独立同分布随机变量。
• 施加平稳性条件 E[ln a] < 0，以及矩条件 E[|b|μ] < ∞ 和 E[|a|μ] = 1（μ > 0）。
• 在这些条件下推导 Bt 的渐近尾部分布行为，表明 Bt 的分布遵循由矩条件决定的幂律分布。
• 分析提高市场回报（即相对于折现率的更高预期收益）对尾部厚度与波动率的影响。
• 使用涉及 E[|a|μ ln|a|] < ∞ 的矩条件，以确保收敛性并表征幂律分布的尾指数。
• 证明更高的市场回报会导致尾部变薄（尾指数更高）和更大的波动率，表明金融市场存在自组织机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何传统理性泡沫模型会产生指数小于1的幂律尾部，与经验收益分布相矛盾？
• RQ2 在理性泡沫模型中，提高市场回报（高于折现率）如何影响价格收益的尾部厚度与波动率？
• RQ3 金融市场是否能通过资产定价中的结构性动态自组织以平衡对小风险与极端风险的暴露？
• RQ4 使泡沫分量 Bt 表现出与经验数据一致的幂律尾部的必要且充分矩条件是什么？
• RQ5 广义模型如何调和理论预测与金融收益分布的经验观察？

主要发现

• 该模型通过表明更高的市场回报会导致收益分布中幂律尾部变薄，解决了以往理性泡沫模型中的矛盾。
• 更高的市场回报导致更大的波动率，表明尾部风险与市场整体风险承担之间存在权衡。
• 泡沫分量 Bt 的分布尾指数由涉及 E[|a|μ] = 1 和 E[|a|μ ln|a|] < ∞ 的矩条件决定。
• 该模型预测金融市场通过调整预期收益与波动率之间的相互作用，自组织以平衡小风险与极端风险。
• 在指定的矩条件之下，Bt 的渐近尾部分布为幂律分布，其指数取决于随机乘数 at 的分布。
• 当模型引入高于折现率的溢价时，可实现与经验数据相符的尾指数，使理论预测与观察到的金融数据保持一致。