[论文解读] Self-overlapping curves revisited

David Eppstein, Elena Mumford|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 13

一句话总结

本文研究了从平面投影中算法重建空间曲面的问题，表明虽然判断一条曲线是否为一个空间环面的边界可在多项式时间内求解，但判断一个投影环面是否对应于一个空间嵌入则是NP完全问题。当提供切口信息（交叉处的上下关系）时，该问题变为线性时间可解，且本文证明对于具有n个自交点的曲面，最多存在2n/2种组合不同的空间嵌入。

ABSTRACT

Let S be a surface embedded in space in such a way that each point has a neighborhood within which the surface is a terrain. Then S projects to an immersed surface in the plane, the boundary of which is a (possibly self-intersecting) curve. Under what circumstances can we reverse these mappings algorithmically? Shor and van Wyk considered one such problem, determining whether a curve is the boundary of an immersed disk; they showed that the self-overlapping curves defined in this way can be recognized in polynomial time. We show that several related problems are more difficult: it is NP-complete to determine whether an immersed disk is the projection of a disk embedded in space, or whether a curve is the boundary of an immersed surface in the plane that is not constrained to be a disk. However, when a casing is supplied with a self-intersecting curve, describing which component of the curve lies above and which below at each crossing, we may determine in time linear in the number of crossings whether the cased curve forms the projected boundary of a surface in space. As a related result, we show that an immersed surface with a single boundary curve that crosses itself n times has at most 2n/2 combinatorially distinct spatial embeddings, and we discuss the existence of fixed-parameter tractable algorithms for related problems.

研究动机与目标

• 确定自相交平面曲线在何种算法条件下可作为三维空间中嵌入曲面的投影。
• 分析识别给定平面上的浸入圆盘是否可提升为一个空间圆盘的计算复杂度。
• 研究自相交曲线是否在平面上边界任意浸入曲面（不一定是圆盘）的可能性。
• 为在提供额外切口信息（交叉处的上下数据）时重建空间曲面建立高效算法。

提出的方法

• 作者将空间曲面建模为3D空间中的嵌入，其中每个点具有局部地形结构，从而可投影到平面上。
• 他们使用组合拓扑方法分析自重叠曲线的结构及其可能的空间提升。
• 关键技术在于通过切口编码交叉信息，明确指定每个交点处哪条曲线段位于上方或下方。
• 他们将空间嵌入重建问题转化为关于切口的约束系统，利用基于图的遍历算法在时间复杂度为线性的时间内求解。
• 他们推导出具有n个自交点的曲面，其组合不同的空间嵌入最多为2n/2种。
• 他们探讨了相关问题的固定参数可追踪性，重点研究以交点数为参数的参数化复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否算法性地确定给定平面上的自相交曲线是否为三维空间中嵌入圆盘的投影？
• RQ2 判断一个平面上的浸入圆盘是否可提升为一个空间圆盘的计算复杂度为何？
• RQ3 当提供切口信息时，能否高效地从其平面投影重建空间曲面？
• RQ4 一个具有n个自交点的浸入曲面最多可拥有多少种不同的空间嵌入？
• RQ5 是否存在基于交点数的固定参数可追踪算法，用于重建空间曲面？

主要发现

• 判断一个平面上的浸入圆盘是否为一个空间圆盘的投影是NP完全问题。
• 判断一条曲线是否在平面上边界任意浸入曲面（不限于圆盘）也是NP完全问题。
• 当提供切口信息时，判断一个带切口的曲线是否构成空间曲面投影边界的算法可在与交点数成线性时间复杂度内求解。
• 一个具有单一边界曲线且自交n次的浸入曲面，其组合不同的空间嵌入最多为2n/2种。
• 本文建立了相关重建问题存在固定参数可追踪算法，其参数化复杂度以交点数为基准。