[论文解读] Self-Similar Decay in the Kraichnan Model of a Passive Scalar

Gregory L. Eyink, Jack Xin|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 1999

Theoretical and Computational Physics参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文分析了在具有粗糙指数 $ζ$ 的高斯、时间白噪声、空间相关速度场作用下，Kraichnan 模型中被动标量的自相似衰减。通过将标度方程转化为合流超几何方程（Kummer's equation），作者对所有自相似解进行了分类，并识别出一组层级不变量 $J_\ell$，表明仅当衰减速率指数 $a \leq (d/\gamma)+1$ 时解才具有统计可实现性，其中 $\gamma = 2 - \zeta$。结果支持一种双尺度衰减情景，且在特定范围内 $a$ 出现自相似性破缺，与 Burgers 湍流类似。

ABSTRACT

We study the two-point correlation function of a freely decaying scalar in Kraichnan's model of advection by a Gaussian random velocity field, stationary and white-noise in time but fractional Brownian in space with roughness exponent $0

研究动机与目标

• 理解在具有空间粗糙特性的速度场下，Kraichnan 模型中被动标量的长期渐近行为。
• 在模型的标度动力学下，对两点相关函数的所有自相似解进行分类。
• 识别并分析控制衰减行为与解的可实现性的不变量 $J_\ell$ 层次结构。
• 确定自相似性在何种条件下发生破缺，特别是与标量衰减速率指数 $a$ 的关系。
• 建立衰减动力学与近期在 Burgers 湍流中观测到的双尺度衰减之间的联系。

提出的方法

• 通过变量替换，将两点相关函数的标度方程转化为 Kummer 的合流超几何微分方程。
• 求解变换后的方程，得到由衰减速率指数 $a$ 参数化的自相似解的完整族。
• 通过要求相关函数为正定且可积，施加实现性约束，从而对 $a$ 建立上界。
• 通过相关函数的矩分析识别出无限序列的不变量 $J_\ell$，其中 $J_0$ 对应 Corrsin 的积分不变量。
• 利用不变量 $J_0$ 和 $J_1$ 将初始数据划分为自相似解的长期吸引域。
• 证明对于任何物理上可实现的初始标量场，$J_0$ 或 $J_1$ 至少有一个非零。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Kraichnan 被动标量衰减模型中，哪些两点相关函数的自相似解具有统计可实现性？
• RQ2 不变量 $J_\ell$ 在初始数据分类与长期行为确定中起什么作用？
• RQ3 衰减速率指数 $a$ 如何与由 $\gamma = 2 - \zeta$ 参数化的速度场空间粗糙度相关联？
• RQ4 在何种条件下，标量衰减过程中的自相似性会发生破缺？
• RQ5 Kraichnan 模型中是否存在类似于在 Burgers 湍流中观测到的双尺度衰减情景？

主要发现

• 所有自相似解均可通过求解 Kummer 方程获得，从而实现对标度行为的完整分类。
• 仅当衰减速率指数 $a \leq (d/\gamma) + 1$ 时，解才具有统计可实现性，其中 $d$ 为空间维数，$\gamma = 2 - \zeta$。
• 识别出一个无限序列的不变量 $J_\ell$，其中 $J_0$ 对应 Corrsin 的积分不变量，更高阶的 $\ell$ 不变量为新发现。
• 对于任何物理上可实现的初始标量场，$J_0$ 或 $J_1$ 至少有一个非零。
• 当衰减速率指数处于范围 $(d + \gamma)/\gamma < a < (d + 2)/\gamma$ 时，自相似性发生破缺，表明存在双尺度衰减过程。
• 结果支持一种双尺度衰减图像，与在 Burgers 湍流中发现的类似，表现出不同的标度区域。