[论文解读] Self-similar Gaussian Markov processes

Benedict Bauer, Stefan Gerhold|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文证明了所有中心化的自相似高斯马尔可夫过程都是由 $ X^{H,c}_t = t^{2H+c} W(t^{-2H-2c}) $ 定义的两参数过程族的缩放版本，其中 $ W $ 为布朗运动，且 $ c \in [-\infty, -H] $。主要贡献是通过其协方差结构对这类过程进行了完整表征，从而可简便验证自相似高斯过程的马尔可夫性或非马尔可夫性。

ABSTRACT

We characterize all multi-dimensional real self-similar Gaussian Markov processes. Three types of covariance matrix functions occur: white-noise type functions, covariances that can be expressed by continuous matrix semigroups, and covariances based on non-continuous solutions of Cauchy's functional equation. Characterizing the latter requires us to develop some results on the representation theory of non-continuous matrix semigroups, which are presented in a companion paper. In dimension one, besides white noise, the self-similar Gaussian Markov processes reduce to a two-parameter family of time-changed Brownian motions. This observation simplifies several proofs of non-Markovianity of concrete processes found in the literature.

研究动机与目标

• 对中心化、自相似高斯马尔可夫过程的完整类进行表征。
• 通过分析其协方差函数，判断给定的自相似高斯过程是否具有马尔可夫性。
• 提供一个统一框架，将布朗运动及其他自相似过程作为特例包含在内。
• 利用该表征证明分数布朗运动及其相关变体为非马尔可夫过程。
• 证明具有渐近平稳增量的自相似高斯过程不是半鞅。

提出的方法

• 定义两参数族 $ X^{H,c}_t = t^{2H+c} W(t^{-2H-2c}) $，其中 $ W $ 为标准布朗运动，以生成自相似高斯马尔可夫过程。
• 利用自相似性与马尔可夫性，推导出协方差函数 $ R(s,t) $ 的函数方程，得到 $ R(s,1)R(1,1) = R(s/t,1)R(t,1) $。
• 通过变换 $ g(x) = R(e^{-x},1)/R(1,1) $，其满足 $ g(x+y) = g(x)g(y) $，将问题转化为求解乘法型函数方程。
• 应用奥斯特洛夫斯基定理于加法函数，对函数方程的解进行分类，区分指数型解与病态解。
• 利用极限 $ c \to -\infty $ 定义退化过程，其协方差为 $ R_{H,-\infty}(s,t) = \begin{cases} t^{2H} & s=t \\ 0 & s\neq t \end{cases} $，对应于白噪声型过程。
• 在附录中，通过随机积分表示与极限分析，证明具有渐近平稳增量的某类自相似高斯过程不是半鞅。

实验结果

研究问题

• RQ1 中心化、自相似高斯马尔可夫过程的完整类是什么？
• RQ2 能否仅从协方差函数判断自相似高斯过程的马尔可夫性？
• RQ3 为何分数布朗运动不是马尔可夫过程？这一结论能否在所有变体中统一证明？
• RQ4 加法函数与柯西函数方程在表征此类过程中的作用是什么？
• RQ5 具有渐近平稳增量的自相似高斯过程是否必然是半鞅？

主要发现

• 任何中心化、自相似高斯马尔可夫过程均分布为 $ X^{H,c} $ 的常数倍，其中 $ H>0 $ 且 $ c \in [-\infty, -H] $。
• 此类过程的协方差函数为 $ R(s,t) = R(1,1) R_{H,c}(s,t) $，其中 $ R_{H,c}(s,t) = (s \vee t)^{2H+c} (s \wedge t)^{-c} $，当 $ s \wedge t > 0 $ 时成立。
• 极限情形 $ c \to -\infty $ 导出的协方差为 $ R_{H,-\infty}(s,t) = t^{2H} $（若 $ s=t $），否则为 0，该过程为马尔可夫且自相似。
• 该表征可立即用于验证如分数布朗运动等过程的非马尔可夫性，因其不满足 $ R_{H,c} $ 的形式。
• 具有渐近平稳增量的自相似高斯过程不是半鞅，通过二次变差的极限分析已得证。
• 证明依赖于函数方程及加法函数的性质，其中奥斯特洛夫斯基定理对柯西方程的应用是关键工具。