[论文解读] SELF-SIMILAR PRIOR AND WAVELET BASES FOR HIDDEN INCOMPRESSIBLE TURBULENT MOTION

F. Lavancier, S. Kadri-harouna|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2013

Image and Signal Denoising Methods参考文献 50被引用 24

一句话总结

本文提出基于小波的无散分数布朗运动（fBm）表示方法，以高效求解从图像序列估计不可压缩湍流速度场的病态逆问题。通过将自相似fBm先验分解到专用小波基上——采用白化滤波器或无散小波——实现了最大后验概率（MAP）估计器的实际应用，克服了分数阶拉普拉斯算子带来的数值挑战，大量数值验证证实了其有效性。

ABSTRACT

Abstract. This work is concerned with the ill-posed inverse problem of estimating turbulent flows from the observation of an image sequence. From a Bayesian perspective, a divergence-free isotropic fractional Brownian motion (fBm) is chosen as a prior model for instantaneous turbulent velocity fields. This self-similar prior characterizes accurately second-order statistics of velocity fields in incompressible isotropic turbulence. Nevertheless, the associated maximum a posteriori involves a fractional Laplacian operator which is delicate to implement in practice. To deal with this issue, we propose to decompose the divergent-free fBm on well-chosen wavelet bases. As a first alternative, we propose to design wavelets as whitening filters. We show that these filters are fractional Laplacian wavelets composed with the Leray projector. As a second alternative, we use a divergence-free wavelet basis, which takes implicitly into account the incompressibility constraint arising from physics. Although the latter decomposition involves correlated wavelet coefficients, we are able to handle this dependence in practice. Based on these two wavelet decompositions, we finally provide effective and efficient algorithms to approach the maximum a posteriori. An intensive numerical evaluation proves the relevance of the proposed wavelet-based self-similar priors. Key words. Bayesian estimation, fractional Brownian motion, divergence-free wavelets, frac-tional Laplacian, connection coefficients, fast transforms, optic-flow, isotropic turbulence. AMS subject classifications. 60G18, 60G22, 60H05, 62F15, 65T50, 65T60 1. Introduction. This

研究动机与目标

• 为通过贝叶斯估计解决从图像序列恢复不可压缩湍流速度场的病态逆问题。
• 克服在自相似、无散fBm先验的MAP估计器中实现分数阶拉普拉斯算子的计算不可行性。
• 通过利用保持无散性和自相似性的小波分解，开发高效且数值稳定的算法。
• 通过在湍流流场重建中进行大量数值实验，验证所提出的基于小波的先验。

提出的方法

• 将湍流速度场建模为无散各向同性分数布朗运动（fBm），以捕捉自相似的二阶统计特性。
• 采用白化滤波器方法，将fBm先验转换到小波基上，其中滤波器由分数阶拉普拉斯小波与Leray投影算子组合而成。
• 通过小波构造方法构建无散小波基，隐式地通过小波构造施加无散性约束。
• 通过递归卷积计算分数阶拉普拉斯算子的连接系数，并通过带有渐近边界条件的线性系统求解，以确保数值稳定性。
• 实现快速变换（FWT），以高效计算小波系数，并支持可扩展的MAP估计。
• 利用Mallat的快速递归滤波算法计算分数阶拉普拉斯核的小波变换，从而实现对先验作用的快速计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于小波的表示能否有效参数化用于湍流速度场的自相似、无散fBm先验？
• RQ2 如何通过小波分解克服MAP估计中分数阶拉普拉斯算子的数值不可行性？
• RQ3 基于小波的先验在湍流流场重建中，在多大程度上保持了无散性和自相似性的物理约束？
• RQ4 所提出的两种小波方法——白化滤波器与无散基——在精度和计算效率方面如何比较？

主要发现

• 所提出的基于小波的自相似先验能够有效且高效地实现从图像序列中对湍流速度场的MAP估计，克服了分数阶拉普拉斯算子带来的数值挑战。
• 白化滤波器方法构建了与Leray投影算子组合的分数阶拉普拉斯小波，提供了稳定且可实现的先验表示。
• 无散小波基隐式地施加了无散性，尽管小波系数存在相关性，但该方法仍保持计算可处理性。
• 数值评估证实了基于小波的先验的相关性，展示了在真实图像观测模型下对湍流速度场的精确重建。
• 通过带有渐近边界条件的线性系统计算连接系数，确保了分数阶拉普拉斯核的数值精度与稳定性。
• 快速变换（FWT）被成功应用于计算小波系数，实现了MAP估计器的可扩展且高效的实现。