[论文解读] Self-similar solutions to the mean curvature flows on Riemannian cone manifolds and special Lagrangians on toric Calabi-Yau cones

Akito Futaki, Kota Hattori+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文将平均曲率流的自相似解理论从欧几里得空间推广到黎曼锥流形，通过位置向量的法向分量引入广义的自相似性定义。证明了在类型 I_c 奇点——即流坍缩至锥顶点且径向衰减受控——的情形下，抛物缩放可得到一个自相似解的极限，将 Huisken 的经典结果推广至奇异锥流形。

ABSTRACT

The self-similar solutions to the mean curvature flows have been defined and studied on the Euclidean space. In this paper we initiate a general treatment of the self-similar solutions to the mean curvature flows on Riemannian cone manifolds. As a typical result we extend the well-known result of Huisken about the asymptotic behavior for the singularities of the mean curvature flows. We also extend the results on special Lagrangian submanifolds on $\mathbb C^n$ to the toric Calabi-Yau cones over Sasaki-Einstein manifolds.

研究动机与目标

• 将平均曲率流中自相似解的概念从欧几里得空间推广至黎曼锥流形。
• 定义并分析类型 I_c 奇点，即流坍缩至锥顶点且具有受控径向衰减的情形。
• 将 Huisken 的缩放技术和单调性公式推广至黎曼锥流形。
• 通过自相似解构造塔里奇 Calabi-Yau 锥上的特殊拉格朗日子流形。
• 将特殊拉格朗日子流形的无穷小形变空间与底面流形上拉普拉斯算子的谱联系起来。

提出的方法

• 定义黎曼锥流形 $C(N) = N \times \mathbb{R}^+$，其度量为 $\bar{g} = dr^2 + r^2 g$。
• 引入位置向量 $\vec{F} = r \frac{\partial}{\partial r}$，并通过 $H = \lambda \vec{F}^\perp$ 定义自相似解。
• 通过三个条件定义类型 I_c 奇点：第二基本形式的类型 I 衰减、向锥顶点的径向坍缩，以及 $K_1(T-t) \leq \min_M r^2(F_t) \leq K_2(T-t)$。
• 应用抛物缩放 $F^\lambda(p,s) = (\pi_N(F(p,T + s/\lambda^2)), \lambda r(F(p,T + s/\lambda^2)))$ 以分析奇点极限。
• 利用单调性和缩放技术，证明缩放流的子列收敛于自相似解。
• 通过 $\beta = r\varphi\,dr + r^2\gamma$，其中 $\gamma = \frac{1}{2}d\varphi$ 且 $\Delta_\Sigma \varphi = 2n\varphi$，将特殊拉格朗日子流形与底面流形上的调和 1-形式及拉普拉斯算子的特征函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将平均曲率流中自相似解的经典理论从欧几里得空间推广至黎曼锥流形？
• RQ2 在何种条件下，锥流形上平均曲率流的抛物缩放可产生自相似极限？
• RQ3 以向锥顶点径向坍缩为特征的类型 I_c 奇点，如何推广 Huisken 关于奇点模型的原始结果？
• RQ4 在 Sasaki-Einstein 流形上，特殊拉格朗日子流形的无穷小形变空间具有何种结构？
• RQ5 塔里奇 Calabi-Yau 锥上特殊拉格朗日子流形的空间与底面流形上拉普拉斯算子的谱有何关联？

主要发现

• 本文证明，对于具有类型 I_c 奇点的黎曼锥流形上的平均曲率流，存在抛物缩放的子列收敛于自相似解。
• 极限解满足 $H = \lambda \vec{F}^\perp$，将自相似条件从欧几里得空间推广至锥流形。
• 特殊拉格朗日子流形的无穷小形变空间同构于 $\mathrm{Ker}(\Delta_\Sigma - 2n)$，其中 $\Sigma$ 为锥的底面。
• 当拉格朗日角度为常数且关联的 1-形式 $\beta$ 满足 $d\beta = d*\beta = 0$ 时，即得特殊拉格朗日子流形，此时有 $\Delta_\Sigma \varphi = 2n\varphi$。
• Reeb 向量场 $\xi$ 不生成特殊拉格朗日形变，因为 $\hat{\omega}(\xi) = -r\,dr$ 不满足 $d*\beta = 0$，从而确认此类形变并非特殊拉格朗日。
• 通过谱条件 $\Delta_\Sigma \varphi = 2n\varphi$ 实现了黎曼锥流形上自相似解的构造，将几何与底面流形上的分析联系起来。