[论文解读] Self-similarity and fractional Brownian motions on Lie groups

Fabrice Baudoin, Laure Coutin|ArXiv.org|Mar 8, 2006

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文将李群上的分数布朗运动定义为由 Hurst 参数 $ H > \frac{1}{4} $ 的线性分数布朗运动驱动的随机微分方程的解。证明了该过程具有平稳增量和局部自相似性，刻画了自相似性为全局性质的李群（即单连通幂零李群），并证明了路径空间上的分部积分公式，从而推出其有限维分布相对于哈尔测度存在光滑密度。

ABSTRACT

The goal of this paper is to define and study a notion of fractional Brownian motion on a Lie group. We define it as at the solution of a stochastic differential equation driven by a linear fractional Brownian motion. We show that this process has stationary increments and satisfies a local self-similar property. Furthermore the Lie groups for which this self-similar property is global are characterized. Finally, we prove an integration by parts formula on the path group space and deduce the existence of a density.

研究动机与目标

• 在李群上定义并研究作为分数布朗运动驱动的随机微分方程解的分数布朗运动。
• 证明该过程具有平稳增量和局部自相似性。
• 刻画自相似性为全局性质的李群。
• 在路径空间上证明分部积分公式，以推导出有限维分布的光滑密度的存在性。

提出的方法

• 利用基 $ (V_1, \dots, V_d) $ 和 $ H > \frac{1}{4} $ 的 $ d $-维分数布朗运动，在李代数 $ \mathfrak{g} $ 上定义规范的分数布朗运动。
• 通过粗糙路径理论求解粗糙路径随机微分方程 $ dX_t = X_t dB^\mathfrak{g}_t $，初始条件为 $ X_0 = 1_\mathbf{G} $，确保解的存在性与唯一性。
• 通过 dyadic 划分上的分数布朗运动的线性插值，并取极限，构造出在 $ 1/p $-霍尔德拓扑下的解。
• 通过分析时间平移过程 $ (X_s^{-1}X_{t+s})_{t \geq 0} $，证明其在等距变换下不变性及增量平稳性。
• 利用转移原理与粗糙路径的马利温分析，在路径群空间上推导出分部积分公式。
• 应用分部积分公式，证明马利温矩阵可逆，从而推出相对于哈尔测度的光滑密度存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过分数布朗运动驱动的随机微分方程在一般李群上一致地定义分数布朗运动？
• RQ2 此类过程的标度性质是什么？自相似性何时为全局而非渐近性质？
• RQ3 哪些李群允许分数布朗运动具有全局自相似结构？
• RQ4 该过程的有限维分布是否相对于群上的哈尔测度存在光滑密度？
• RQ5 能否在该过程的路径空间上建立分部积分公式，以支持马利温分析技术？

主要发现

• 作为 $ dX_t = X_t dB^\mathfrak{g}_t $ 解定义的李群上的分数布朗运动，对所有 $ H > \frac{1}{4} $ 均具有平稳增量。
• 该过程具有参数为 $ H $ 的局部自相似性，并在 Kunita 意义下具有渐近自相似性。
• 当且仅当李群为单连通幂零李群时，自相似性为全局性质。
• 通过粗糙路径理论与马利温分析，在路径群空间上建立了分部积分公式。
• 证明了马利温矩阵可逆，从而推出该过程的有限维分布相对于哈尔测度存在光滑密度。
• 该结果可通过正交标架丛与 Eells-Elworthy-Malliavin 构造推广至黎曼流形。