[论文解读] Self-simulable groups

Sebastián Barbieri, Mathieu Sablik+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2021

Cellular Automata and Applications参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文引入了自相似可模拟群（self-simulable groups）的概念——即所有有效闭的零维作用均可作为有限型子移位（subshift of finite type）的拓扑因子的有限生成群。证明了非阿密集群（如自由群的直积、Burger-Mozes群、Thompson群V，以及n ≥ 5时的GLₙ(ℤ)）是自相似可模拟的，并表明自相似可模拟性蕴含存在具有可判定字问题的强非周期性有限型子移位。

ABSTRACT

We say that a finitely generated group $Γ$ is self-simulable if every effectively closed action of $Γ$ on a closed subset of $\{ exttt{0}, exttt{1}\}^{\mathbb{N}}$ is the topological factor of a $Γ$-subshift of finite type. We show that self-simulable groups exist, that any direct product of non-amenable finitely generated groups is self-simulable, that under technical conditions self-simulability is inherited from subgroups, and that the subclass of self-simulable groups is stable under commensurability and quasi-isometries of finitely presented groups. Some notable examples of self-simulable groups obtained are the direct product $F_k imes F_k$ of two free groups of rank $k \geq 2$, non-amenable finitely generated branch groups, the simple groups of Burger and Mozes, Thompson's $V$, the groups $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{Aut}(F_n)$ and $\operatorname{Out}(F_n)$ for $n \geq 5$; The braid groups $B_m$ for $m \geq 7$, and certain classes of RAAGs. We also show that Thompson's $F$ is self-simulable if and only if $F$ is non-amenable, thus giving a computability characterization of this well-known open problem. We also exhibit a few applications of self-simulability on the dynamics of these groups, notably, that every self-simulable group with decidable word problem admits a nonempty strongly aperiodic subshift of finite type.

研究动机与目标

• 定义并刻画自相似可模拟群——即其有效闭零维动力系统可被有限型子移位完全捕捉的有限生成群。
• 确定哪些群类（尤其是非阿密性和有限表示群）是自相似可模拟的。
• 探讨自相似可模拟性的动力系统与可计算性后果，如强非周期性有限型子移位的存在性。
• 研究自相似可模拟群类的结构性质，包括在共轭、拟等距变换和直积下的封闭性。
• 若且唯若Thompson群F是非阿密的，则通过其自相似可模拟性提供其可计算性理论刻画。

提出的方法

• 将自相似可模拟群定义为：其在{0,1}^ℕ的闭子集上的任意有效闭作用均为Γ-有限型子移位的拓扑因子。
• 利用悖论分解与符号动力系统构造可模拟任意有效闭作用的有限型子移位。
• 反向应用Hochman型模拟定理：不通过更大群模拟Γ-作用，而是证明Γ本身可通过有限型子移位模拟其自身动力系统。
• 利用非阿密群及其作用的相关结果，证明非阿密群直积及特定算术群的自相似可模拟性。
• 利用自相似可模拟性推出强非周期性有限型子移位的存在性，并结合可判定字问题。
• 运用符号动力系统与群论技术，包括子作用因子与可计算性理论约化，证明封闭性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限生成群是自相似可模拟的，特别是非阿密群与算术群？
• RQ2 Thompson群F是否自相似可模拟当且仅当其是非阿密的，从而为一个重大开放问题提供可计算性刻画？
• RQ3 自相似可模拟性是否可从自相似可模拟子群传递至整个群，特别是在单连通或字超曲群中？
• RQ4 自相似可模拟性在有限表示群中是否在拟等距变换与共轭下保持不变？
• RQ5 GLₙ(ℤ)、Aut(Fₙ)、Out(Fₙ)与辫群Bₘ在小的n与m下是否自相似可模拟？

主要发现

• 所有非阿密有限生成群的直积均为自相似可模拟的。
• 当k ≥ 2时，Fₖ × Fₖ是自相似可模拟的，非阿密有限生成分支群亦然。
• Thompson群V是自相似可模拟的，且Thompson群F是自相似可模拟的当且仅当其是非阿密的。
• 当n ≥ 5时，GLₙ(ℤ)、SLₙ(ℤ)、Aut(Fₙ)与Out(Fₙ)均为自相似可模拟的。
• 当m ≥ 7时，辫群Bₘ是自相似可模拟的。
• 每个具有可判定字问题的自相似可模拟群均存在非空的强非周期性有限型子移位。