[论文解读] Selfdual Einstein metrics and conformal submersions

David M. J. Calderbank|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 16

一句话总结

本文通过引入具有1维纤维的共形子丛作为框架，推广了Jones-Tod对应关系，用于构造自洽度量爱因斯坦4-流形。引入Weyl导数和Weyl-李导数以统一并简化几何结构，从而通过'仿射'和'射影单极方程'显式构造出自洽度量爱因斯坦度量，包括从任意全纯函数或调和函数构造出的、不具连续对称性的新度量。

ABSTRACT

Weyl derivatives, Weyl-Lie derivatives and conformal submersions are defined, then used to generalize the Jones-Tod correspondence between selfdual 4-manifolds with symmetry and Einstein-Weyl 3-manifolds with an abelian monopole. In this generalization, the conformal symmetry is replaced by a particular kind of conformal submersion with one dimensional fibres. Special cases are studied in which the conformal submersion is holomorphic, affine, or projective. All scalar-flat Kahler metrics with such a holomorphic conformal submersion, and all four dimensional hypercomplex structures with a compatible Einstein metric, are obtained from solutions of the resulting ``affine monopole equations''. The ``projective monopole equations'' encompass Hitchin's twistorial construction of selfdual Einstein metrics from three dimensional Einstein-Weyl spaces, and lead to an explicit formula for carrying out this construction directly. Examples include new selfdual Einstein metrics depending explicitly on an arbitrary holomorphic function of one variable or an arbitrary axially symmetric harmonic function. The former generically have no continuous symmetries.

研究动机与目标

• 将Jones-Tod对应关系从具有Killing场的自洽度量爱因斯坦4-流形推广到具有1维纤维的共形子丛的更广类。
• 通过Weyl导数和Weyl-李导数建立几何框架，用于研究共形子丛及其与爱因斯坦-Weyl几何的关系。
• 通过耦合微分方程的解，提供自洽度量爱因斯坦度量的显式构造，包括不具连续对称性的度量。
• 通过显式公式表征Hitchin的扭量构造自洽度量爱因斯坦度量，并将其识别为推广框架的特例。
• 在基于仿射和射影共形子丛的统一形式下，统一已知的标量平坦凯勒和超复度量的构造。

提出的方法

• 引入Weyl导数作为实线丛上的协变导数，为共形几何提供一种与规范无关的形式化方法。
• 在自然丛上定义Weyl-李导数，使得无需固定度量代表元即可研究共形几何中的对称性和变换。
• 将该形式化方法应用于具有1维纤维的共形子丛，表明底空间继承了爱因斯坦-Weyl结构。
• 推导出'仿射单极方程'，即一组耦合线性PDE，其解可生成具有相容标量平坦凯勒或超复结构的自洽度量爱因斯坦度量。
• 引入'射影单极方程'作为非线性SL(2,R)爱因斯坦-WeylBogomolny方程，推广Hitchin的构造。
• 为Hitchin-LeBrun构造提供显式公式，使可直接从任意爱因斯坦-Weyl3-流形计算出自洽度量爱因斯坦度量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Jones-Tod对应关系从Killing对称性推广到包含具有1维纤维的共形子丛的情形？
• RQ2 当全空间通过共形子丛成为自洽度量爱因斯坦4-流形时，其底空间会涌现出何种几何结构？
• RQ3 Hitchin-LeBrun构造自洽度量爱因斯坦度量能否通过微分方程组显式表达？
• RQ4 Weyl导数和Weyl-李导数在简化共形子丛及其相关结构的几何中起什么作用？
• RQ5 仿射和射影共形子丛如何导致自洽度量爱因斯坦度量的新类，包括不具连续对称性的度量？

主要发现

• 证明了具有1维纤维的自洽共形子丛的底空间为爱因斯坦-Weyl3-流形，推广了Jones-Tod对应关系。
• 底空间中无剪切的测地线族对应于全纯共形子丛，产生标量平坦凯勒度量和超复结构。
• 仿射共形子丛由一组线性微分方程（即'仿射单极方程'）刻画，其解可生成具有相容标量平坦凯勒或超复结构的自洽度量爱因斯坦度量。
• 射影共形子丛导出'射影单极方程'——非线性SL(2,R)爱因斯坦-WeylBogomolny方程——Hitchin的构造是其特例。
• 为Hitchin-LeBrun构造推导出显式公式，使可直接从任意爱因斯坦-Weyl3-流形计算出自洽度量爱因斯坦度量。
• 从任意一个变量的全纯函数或轴对称调和函数构造出新的自洽度量爱因斯坦度量，其通常不具连续对称性。