[论文解读] Selmer groups as flat cohomology groups

Kęstutis Česnavičius|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 14

一句话总结

本文证明，对于足够大的素数 $p$，数域上阿贝尔簇的 $p^m$-Selmer 群由其模 $p^m$ 伽罗瓦表示决定。通过 fppf 上同调与 Néron 模型，作者在 $p$ 满足明确条件时，证明了 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 同构于平坦上同调群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$，并证明当 $p$ 不在有限集 $\Sigma$ 中时，$\mathcal{A}[p^m]$ 由 $A[p^m]$ 决定，从而给出了基于模 $p^m$ 数据的 Selmer 群的上同调描述。

ABSTRACT

Given a prime number $p$, Bloch and Kato showed how the $p^\infty$-Selmer group of an abelian variety $A$ over a number field $K$ is determined by the $p$-adic Tate module. In general, the $p^m$-Selmer group $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ need not be determined by the mod $p^m$ Galois representation $A[p^m]$; we show, however, that this is the case if $p$ is large enough. More precisely, we exhibit a finite explicit set of rational primes $Σ$ depending on $K$ and $A$, such that $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ is determined by $A[p^m]$ for all $p ot \in Σ$. In the course of the argument we describe the flat cohomology group $H^1_{\mathrm{fppf}}(O_K, \mathcal{A}[p^m])$ of the ring of integers of $K$ with coefficients in the $p^m$-torsion $\mathcal{A}[p^m]$ of the Néron model of $A$ by local conditions for $p ot\in Σ$, compare them with the local conditions defining $\mathrm{Sel}_{p^m} A$, and prove that $\mathcal{A}[p^m]$ itself is determined by $A[p^m]$ for such $p$. Our method sharpens the known relationship between $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ and $H^1_{\mathrm{fppf}}(O_K, \mathcal{A}[p^m])$ and continues to work for other isogenies $ϕ$ between abelian varieties over global fields provided that $\mathrm{deg} ϕ$ is constrained appropriately. To illustrate it, we exhibit resulting explicit rank predictions for the elliptic curve $11A1$ over certain families of number fields.

研究动机与目标

• 确定阿贝尔簇 $A$ 在数域 $K$ 上的 $p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 何时由模 $p^m$ 伽罗瓦表示 $A[p^m]$ 决定。
• 通过 Néron 模型的平坦上同调 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ 建立 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 的上同调描述。
• 确定一个有限素数集 $\Sigma$，使得对所有 $p \notin \Sigma$，$p^m$-Selmer 群由 $A[p^m]$ 决定。
• 在 $\deg\phi$ 和局部不变量满足适当约束的条件下，将此结果推广至阿贝尔簇之间的同态 $\phi$。

提出的方法

• 利用 fppf 上同调，通过 $A$ 的 Néron 模型 $\mathcal{A}$ 将 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 与平坦上同调群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ 联系起来。
• 在约化类型和 Tamagawa 因子满足条件时，建立 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[\phi])$ 与 $\phi$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_\phi A$ 之间的同构。
• 证明当 $p$ 不在有限集 $\Sigma$ 中时，$\mathcal{A}[p^m]$ 由 $A[p^m]$ 决定，该结论依赖于局部条件和挠率界 $e_v < p_v - 1$。
• 应用下降理论与平坦基变换，将局部 fppf 上同调与局部伽罗瓦上同调及 Selmer 条件联系起来。
• 利用晶体周期环 $B_{\mathrm{cris}}$ 定义局部条件 $H^1_f(K_v, V_pA)$，并将其与 $A(K_v) \otimes \mathbb{Q}_p / \mathbb{Z}_p$ 联系起来。
• 通过分析 Néron 模型核 $\mathcal{A}[\phi]$ 的平坦性与有限性性质，在约化条件下将方法推广至任意同态 $\phi$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在哪些素数 $p$ 下，$p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 由模 $p^m$ 伽罗瓦表示 $A[p^m]$ 决定？
• RQ2 是否能通过 Néron 模型 $\mathcal{A}[p^m]$ 的平坦上同调显式描述 $p^m$-Selmer 群？
• RQ3 在哪些条件下，$p$、域 $K$ 与阿贝尔簇 $A$ 确保 $\mathcal{A}[p^m]$ 由 $A[p^m]$ 决定？
• RQ4 平坦上同调群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ 与经典 Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 如何比较？
• RQ5 该方法在多大程度上可推广至阿贝尔簇之间的其他同态 $\phi$？

主要发现

• 对于所有不在依赖于 $K$ 与 $A$ 的显式可计算有限集 $\Sigma$ 中的素数 $p$，$p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 由伽罗瓦模 $A[p^m]$ 决定。
• 当 $p$ 足够大且 $A$ 在整除 $p$ 的素点上具有半阿贝尔约化时，平坦上同调群 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$ 同构于 $p^m$-Selmer 群 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$。
• 若对所有整除 $p$ 的素点 $v$ 都有 $e_v < p_v - 1$，则对所有 $p \notin \Sigma$，Néron 模型 $\mathcal{A}[p^m]$ 由 $A[p^m]$ 决定。
• 该方法可推广至任意同态 $\phi$：若 $\deg\phi$ 与所有局部 Tamagawa 因子互素，且对所有 $v \mid \deg\phi$ 都有 $e_v < p_v - 1$，则 $\operatorname{Sel}_\phi A_L$ 由 $A[\phi](L^s)$ 决定。
• 对椭圆曲线 11A1，当 $p$ 足够大时，该方法在某些数域族上给出了显式的秩预测。
• 本文通过 fppf 上同调，以 $T_pA$ 的形式提供了 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$ 的上同调描述，从而强化了 Selmer 群与 $p$-进 Tate 模之间已知的联系。