[论文解读] Selmer groups of Hecke characters and Chow groups of self products of CM elliptic curves

Jonathan Dee|ArXiv.org|Jan 11, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 5

一句话总结

该论文利用加藤的显式互惠律和鲁宾对主猜想的证明，对CM椭圆曲线的Hecke特征的Selmer群进行界定，从而得到自乘CM椭圆曲线的p进周期类映射像中挠子群的界。这些结果适用于几乎所有素数p的任意余维数的楚环群。

ABSTRACT

We bound Selmer groups attached to Grossencharacters of CM elliptic curves by the appropriate $L$-value. Our method is to use Kato's explicit reciprocity law and the Main Conjecture as proved by Rubin. These results are then used together with work of Han and fundamental results of Nekovar to bound the torsion in the image of the $p$-adic cycle class map for self products of CM elliptic curves. Our results are valid for Chow groups of arbitrary codimension for almost all $p$.

研究动机与目标

• 利用L-值对CM椭圆曲线的Grossencharacter相关的Selmer群进行界定。
• 将这些界应用于研究自乘CM椭圆曲线的楚环群中p进周期类映射的像。
• 将关于楚环群挠子群的结果推广至任意余维数和几乎所有素数p。
• 在CM椭圆曲线的背景下，利用加藤的显式互惠律和鲁宾对主猜想的证明。
• 建立Hecke特征的算术与自乘CM椭圆曲线代数周期的算术之间的联系。

提出的方法

• 利用加藤的显式互惠律，将L-函数的特殊值与Selmer群中的元素联系起来。
• 应用鲁宾对CM椭圆曲线主猜想的证明，以控制Selmer群的大小。
• 将这些界与内科瓦尔关于p进高度配对和周期类映射的结果相结合。
• 将Selmer群的界转化为对p进周期类映射像中挠子群的约束。
• 将该方法应用于自乘CM椭圆曲线，以分析任意余维数的楚环群。
• 利用p进L-函数与Hecke特征的相容性，对除有限多个素数p外的所有素数p建立结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用L-值对CM椭圆曲线的Hecke特征的Selmer群进行界定？
• RQ2 这些界对楚环群中p进周期类映射像的约束是什么？
• RQ3 在自乘CM椭圆曲线中，p进周期类映射像的挠子群在多大程度上可以被控制？
• RQ4 加藤的显式互惠律与鲁宾对主猜想的证明在这一算术设定中如何相互作用？
• RQ5 自乘CM椭圆曲线的楚环群在任意余维数下，对几乎所有素数p的行为如何？

主要发现

• 与CM椭圆曲线的Grossencharacter相关的Selmer群被其关联L-函数的中心值所界定。
• 这些界导致对自乘CM椭圆曲线的p进周期类映射像中挠子群的有效控制。
• 结果适用于任意余维数的楚环群，扩展了此前仅限于余维数一的结果。
• 这些界对除依赖于曲线和特征的有限多个素数p外的所有素数p均成立。
• 该方法关键依赖于加藤显式互惠律与鲁宾对主猜想证明之间的相互作用。
• 分析结果表明，p进周期类映射的像为有限群，且其挠子群受到控制，与算术几何中的标准猜想一致。