[论文解读] Semi-Algebraic Proofs, IPS Lower Bounds and the $ au$-Conjecture: Can a Natural Number be Negative?

Yaroslav Alekseev, Dima Grigoriev+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 47被引用 1

一句话总结

本文引入了二进制数值原理——一种子集和问题编码，表示以二进制表示的自然数不能为负——并基于 Shub-Smale 假设和 τ-猜想，建立了理想证明系统（IPS）反驳的条件性超多项式下界。研究证明，该原理的短 IPS 反驳是代数证明系统完全模拟半代数系统所必需且充分的条件，揭示了证明复杂性中代数与半代数推理之间的根本性分离。

ABSTRACT

We introduce the binary value principle which is a simple subset-sum instance expressing that a natural number written in binary cannot be negative, relating it to central problems in proof and algebraic complexity. We prove conditional superpolynomial lower bounds on the Ideal Proof System (IPS) refutation size of this instance, based on a well-known hypothesis by Shub and Smale about the hardness of computing factorials, where IPS is the strong algebraic proof system introduced by Grochow and Pitassi (2018). Conversely, we show that short IPS refutations of this instance bridge the gap between sufficiently strong algebraic and semi-algebraic proof systems. Our results extend to full-fledged IPS the paradigm introduced in Forbes et al. (2016), whereby lower bounds against subsystems of IPS were obtained using restricted algebraic circuit lower bounds, and demonstrate that the binary value principle captures the advantage of semi-algebraic over algebraic reasoning, for sufficiently strong systems. Specifically, we show the following: (abstract continues in document.)

研究动机与目标

• 研究二进制数值原理的证明复杂性，该原理编码了二进制表示的自然数的非负性。
• 基于代数复杂性中的著名猜想，建立理想证明系统（IPS）反驳的条件性超多项式下界。
• 阐明代数证明系统（如 IPS）与半代数证明系统（如 Positivstellensatz 和 LS∞+）之间的关系，说明何时一种系统可以模拟另一种。
• 引入锥证明系统（CPS）作为一种强大的半代数证明系统，能够捕捉平方和（SoS）及相关系统的能力。
• 证明 IPS 能够反驳二进制数值原理，是其模拟所有已知半代数证明系统的关键门槛。

提出的方法

• 将二进制数值原理定义为一个不可满足的方程 ∑_{i=1}^n 2^{i-1}x_i = -1，其中 x_i 为布尔变量。
• 利用 Shub-Smale 假设关于阶乘计算的困难性，推导出在有理数上 IPS 反驳的条件性超多项式下界。
• 通过 τ-猜想将分析扩展到有理函数环，证明该设定下二进制数值原理变体的下界。
• 将锥证明系统（CPS）定义为一种半代数证明系统，通过代数电路表示平方和证明。
• 证明 IPS 与 CPS 多项式等价，当且仅当 IPS 在整数环 Z 和有理数域 Q 上对二进制数值原理存在多项式大小的反驳。
• 利用 IPS 中一种新的分情况证明原则，表明对布尔变量的分情况分析可在多项式大小内模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shub-Smale 假设是否能推出在有理数上 IPS 反驳二进制数值原理的大小为超多项式？
• RQ2 τ-猜想是否能推出在有理函数环上，二进制数值原理变体的 IPS 反驳大小为超多项式？
• RQ3 IPS 能够反驳二进制数值原理是否既是其模拟所有已知半代数证明系统的必要条件，也是充分条件？
• RQ4 二进制数值原理如何作为代数与半代数证明系统之间的桥梁？
• RQ5 能否通过二进制数值原理的短反驳来刻画代数证明系统相对于半代数系统的表达能力？

主要发现

• 在 Shub-Smale 假设下，IPS 对有理数域 Q 上二进制数值原理的反驳需要超多项式大小。
• 在 τ-猜想下，IPS 对有理函数环上二进制数值原理变体的反驳同样需要超多项式大小。
• 二进制数值原理起到关键阈值作用：当且仅当 IPS 在整数环 Z 和有理数域 Q 上对这一原理存在多项式大小反驳时，IPS 才能模拟所有已知的半代数证明系统。
• 引入了锥证明系统（CPS）作为一种强大的半代数证明系统，可模拟 Positivstellensatz、SoS 和 LS∞+ 对 CNF 问题的不等式形式表达。
• IPS 与 CPS 多项式等价，当且仅当 IPS 对二进制数值原理存在多项式大小反驳。
• 在 IPS 中建立了一种新的分情况证明原则，表明对布尔变量的分情况分析可在多项式大小内模拟，从而支持通过情况枚举推导条件性下界。