[论文解读] Semi-Bloch periodic functions, semi-anti-periodic functions and applications

Belkacem Chaouchi, Marko Kostić+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2020

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文引入并分析了半Bloch $k$-周期函数与半反周期函数，将经典周期性概念扩展至更广泛的函数类。研究证明这些函数类在卷积积下保持不变，并将结果应用于证明抽象积分微分方程与分数阶Cauchy包含方程解的存在性及其渐近行为。

ABSTRACT

In this paper, we introduce the notions of semi-Bloch periodic functions and semi-anti-periodic functions. Stepanov semi-Bloch periodic functions and Stepanov semi-anti-periodic functions are considered, as well. We analyze the invariance of introduced classes under the actions of convolution products and briefly explain how one can use the obtained results in the qualitative analysis of solutions of abstract inhomogeneous integro-differential equations.

研究动机与目标

• 通过引入半Bloch $k$-周期函数与半反周期函数作为反周期函数与Bloch周期函数的推广，扩展周期函数理论。
• 分析这些函数类在卷积积下的不变性，特别是在Stepanov $L^q$-设定下的性质。
• 将理论框架应用于抽象非齐次积分微分方程与分数阶Cauchy包含方程解的定性分析。
• 建立解渐近半Bloch $k$-周期或渐近半反周期的条件。
• 将半周期函数的结果推广至新函数类，包括在参数依赖设定下的一致半Bloch $k$-周期性。

提出的方法

• 通过条件 $\|f(t+mp) - e^{ikmp}f(t)\|_{L^q([t,t+1])} \leq \epsilon$ 对所有 $t \in \mathbb{R}$, $m \in \mathbb{Z}$ 及某个 $p > 0$，引入半Bloch $k$-周期函数。
• 利用长度为1的区间上的 $L^q$-范数定义Stepanov $q$-半Bloch $k$-周期函数，从而能够分析非连续函数。
• 使用Hölder不等式与预解核的 $L^{q'}$-范数估计，证明半Bloch $k$-周期函数与预解族的卷积仍保持半Bloch $k$-周期性。
• 通过要求 $\lim_{t \to \infty} \int_t^{t+1} \|q(s-r)\|^{q} \, dr \to 0$ 以及预解核在区间上 $L^{q'}$-范数的可 summability，建立渐近不变性。
• 通过验证解算子在适当的衰减与有界性条件下保持半Bloch $k$-周期性，将结果应用于分数阶微分包含方程。
• 在参数依赖设定下，通过参数空间 $K \subset \mathbb{R}^s$ 的紧致性，将框架推广至一致半Bloch $k$-周期函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将反周期性的概念推广以包含指数权重因子，这些函数的结构性质是什么？
• RQ2 在何种条件下，Stepanov $q$-半Bloch $k$-周期函数与预解族的卷积仍保持半Bloch $k$-周期性？
• RQ3 在何种条件下，抽象非齐次积分微分方程的解继承渐近半Bloch $k$-周期性？
• RQ4 新函数类与现有类（如几乎周期、半周期、反周期函数）之间有何关系？
• RQ5 该理论能否推广至参数依赖系统？在何种条件下可保证一致半Bloch $k$-周期性？

主要发现

• 反周期函数空间在有界连续函数空间中的闭包即为半反周期函数空间。
• 函数 $f$ 是半Bloch $k$-周期函数当且仅当 $e^{-ik\cdot}f(\cdot)$ 是半周期函数；当 $k=0$ 时，退化为半周期函数空间。
• Stepanov $q$-半Bloch $k$-周期函数在卷积下不变，前提是预解族满足 $\sum_{k=0}^\infty \|R(\cdot)\|_{L^{q'}[s+k,s+k+1]} < \infty$。
• 若 $g$ 是Stepanov $q$-半Bloch $k$-周期函数且 $q \in C_0([0,\infty):L^q([0,1]:E))$，则卷积 $H(t) = \int_0^t R(t-s)f(s)\,ds$ 是渐近 $S^q$-半Bloch $k$-周期函数。
• 在给定衰减与可积性条件下，分数阶Cauchy包含方程 $D_t^\gamma u(t) \in \mathcal{A}u(t) + f(t)$ 的解的渐近行为由渐近 $S^q$-半Bloch $k$-周期性表征。
• 当参数集 $K$ 紧致且函数在 $K$ 上满足一致估计时，参数依赖系统中的一致半Bloch $k$-周期性得以保持。