[论文解读] Semi-closed form solutions for barrier and American options written on a time-dependent Ornstein Uhlenbeck process

Peter Carr, Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2020

Capital Investment and Risk Analysis参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文提出了一种针对时变Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程下障碍期权和美式期权的半闭式解法，通过变量变换将定价PDE转化为热方程，并数值求解Fredholm积分方程。该方法实现了高效且精确的定价，计算性能优于向后有限差分法，且在同时定价多个期权时与前向求解器相当。

ABSTRACT

In this paper we develop a semi-closed form solutions for the barrier (perhaps, time-dependent) and American options written on the underlying stock which follows a time-dependent OU process with a log-normal drift. This model is equivalent to the familiar Hull-White model in FI, or a time dependent OU model in FX. Semi-closed form means that given the time-dependent interest rate, continuous dividend and volatility functions, one need to solve numerically a linear (for the barrier option) or nonlinear (for the American option) Fredholm equation of the first kind. After that the option prices in all cases are presented as one-dimensional integrals of combination of the above solutions and Jacobi theta functions. We also demonstrate that computationally our method is more efficient than the backward finite difference method used for solving these problems, and can also be as efficient as the forward finite difference solver while providing better accuracy and stability.

研究动机与目标

• 开发当标的资产服从时变OU过程时，障碍期权与美式期权的半闭式解法。
• 克服在时变均值回归与波动率下奇异期权缺乏闭式解的问题。
• 相比标准有限差分法在期权定价中的应用，提升计算效率与稳定性。
• 在统一框架下支持时变利率、股息、波动率以及时变障碍的定价。

提出的方法

• 通过引入依赖时间的函数f(x,t)和g(t)进行变量变换，将障碍期权的定价PDE转化为热方程。
• 推导g(t)的常微分方程（ODE）与w(t)的Riccati方程，以实现该变换，其数值求解适用于一般时变参数。
• 将期权定价问题简化为在变换空间中求解第一类线性Fredholm积分方程。
• 将最终期权价格表示为涉及Fredholm方程解与雅可比θ函数的一维积分。
• 对于美式期权，通过迭代求解非线性Fredholm方程，保持相同的积分结构。
• 使用高阶求积规则（如Simpson法则）提升最终积分计算的精度，而无需增加计算复杂度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为时变OU过程下的障碍期权与美式期权推导出半闭式解？
• RQ2 当所有模型参数（漂移、波动率、利率）均为时变时，如何将定价PDE转化为热方程？
• RQ3 与有限差分求解器相比，所提方法在奇异期权定价中的计算效率如何？
• RQ4 该方法是否可在不改变算法结构的前提下处理时变障碍？
• RQ5 与向后和前向有限差分格式相比，该方法的精度与稳定性如何？

主要发现

• 由于Fredholm方程求解复杂度降低，该方法在相同精度下比向后有限差分法快约30–40倍。
• 在p空间中使用M₁ = 10个配点时，解已收敛，进一步细化不再改善结果，表明计算开销极低。
• 该方法在精度与稳定性方面优于向后有限差分求解器，同时在多期权定价中效率与前向有限差分求解器相当。
• 该方法的复杂度主要由求解Fredholm方程决定，复杂度为O(M₁³)，当M₁ ≪ N时（N为标准有限差分网格大小），具有显著优势。
• 雅可比θ函数的使用使得最终期权价格可紧凑、稳定且精确地表示为一维积分。
• 通过修改变换函数y(τ)，该方法可自然推广至时变障碍情形，无需算法结构变更。