[论文解读] Semi-continuity of complex singularity exponents and Kähler-Einstein metrics on Fano orbifolds

Jean-Pierre Demailly, Janós Kollár|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 1999

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 19

一句话总结

本文引入了全纯凸函数的复奇点指数，并证明了其下半连续性，为复几何中奇点的研究提供了强有力的分析工具。利用该结果，作者建立了法诺轨道丛上凯勒-爱因斯坦度量存在的简化判别准则，从而构造出三个新的具有商奇点的刚性德尔朋诺曲面，这些曲面均 admits 此类度量。

ABSTRACT

We introduce complex singularity exponents of plurisubharmonic functions and prove a general semi-continuity result for them. This concept contains as a special case several similar concepts which have been considered e.g. by Arnold and Varchenko, mostly for the study of hypersurface singularities. The plurisubharmonic version is somehow based on a reduction to the algebraic case, but it also takes into account more quantitative informations of great interest for complex analysis and complex differential geometry. We give as an application a new derivation of criteria for the existence of Kähler-Einstein metrics on certain Fano orbifolds, following Nadel's original ideas (but with a drastic simplication in the technique, once the semi-continuity result is taken for granted). In this way, 3 new examples of rigid Kähler-Einstein Del Pezzo surfaces with quotient singularities are obtained.

研究动机与目标

• 开发一种定量分析框架，通过复奇点指数来度量全纯凸函数的奇点。
• 建立这些指数的一般下半连续性定理，将代数几何中已知结果推广至解析设置。
• 将下半连续性结果应用于简化并重新推导法诺轨道丛上凯勒-爱因斯坦度量存在的判别准则。
• 利用改进的分析准则构造新的具有商奇点的刚性凯勒-爱因斯坦德尔朋诺曲面。
• 通过分析加权射影空间中的曲率与乘子理想层，提供凯勒-爱因斯坦度量的有效可计算条件。

提出的方法

• 将复奇点指数 $ c_K(\varphi) $ 定义为满足 $ \exp(-2c\varphi) $ 在紧集 $ K $ 附近 $ L^1 $-可积的 $ c \geq 0 $ 的上确界。
• 引入阿诺德多重性 $ \lambda_K(\varphi) = c_K(\varphi)^{-1} $ 作为奇点严重程度的对偶度量。
• 利用 $ L^2 $ 估计和乘子理想层，在紧子集上的 $ L^1 $ 拓扑下证明 $ c_K(\varphi) $ 的下半连续性。
• 将下半连续性结果应用于将法诺轨道丛上凯勒-爱因斯坦度量的存在性问题简化为检查曲率正性与乘子理想条件。
• 利用环面作用与退化技术，控制加权射影超曲面上的交数，从而有效验证凯勒-爱因斯坦准则。
• 计算涉及权重 $ a_i $、次数 $ d $ 和 $ t = d+1 $ 的比值 $ \rho_a $，并得出结论：若 $ \rho_a < 1 $，则凯勒-爱因斯坦度量存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 全纯凸函数的复奇点指数能否以一种同时捕捉解析与代数奇点数据的方式加以刻画？
• RQ2 在全纯凸函数的 $ L^1 $-收敛下，复奇点指数是否具有下半连续性？能否利用 $ L^2 $ 估计加以证明？
• RQ3 能否利用奇点指数的下半连续性来简化或重新推导法诺轨道丛上凯勒-爱因斯坦度量存在的判别准则？
• RQ4 在加权射影超曲面上，哪些有效条件可确保凯勒-爱因斯坦度量的存在，特别是对于德尔朋诺曲面？
• RQ5 是否存在新的具有商奇点的刚性德尔朋诺曲面，其上存在凯勒-爱因斯坦度量？如何构造它们？

主要发现

• 在紧集上的 $ L^1 $-收敛下，复奇点指数 $ c_K(\varphi) $ 在局部 $ L^1 $ 全纯凸函数空间上是下半连续的。
• 有效版本的下半连续性保证：当 $ \psi \to \varphi $ 在 $ L^1 $ 中收敛时，对所有 $ c < c_K(\varphi) $，有 $ \exp(-2c\psi) \to \exp(-2c\varphi) $ 在 $ L^1 $ 范数下收敛。
• 法诺轨道丛上凯勒-爱因斯坦度量的判别准则被简化为验证 $ (-K_X) \cdot Z > \frac{2}{3}(-K_X)^2 $ 且 $ T_X \otimes \mathcal{O}_X(d - a_0 - a_2) $ 为 nef。
• 构造了三个新的具有商奇点的刚性凯勒-爱因斯坦德尔朋诺曲面：一个权重为 $ (11,49,69,128) $，$ d=256 $，$ \rho_a \simeq 0.875696 $；另一个权重为 $ (13,35,81,128) $，$ d=256 $，$ \rho_a \simeq 0.955311 $。
• 在权重 $ (9,15,17,20) $、$ d=60 $ 的情况下，通过改进对切丛限制的分析，确认了凯勒-爱因斯坦条件。
• 这三个例子作为加权超曲面是刚性的，即不存在非平凡形变，且通过 [BG00] 可导出非正则的萨斯卡里安-爱因斯坦 5-流形。