[论文解读] Semi-derived Ringel-Hall algebras and Drinfeld double

Ming Lu, Liangang Peng|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 33被引用 10

一句话总结

本文为任意具有足够投射对象的遗传阿贝尔范畴 A 引入了半导出 Ringel-Hall 代数 SDH(A)，即使 A 缺乏足够的投射对象。通过构造 A 上 Z/2-分次复形的 Ringel-Hall 代数的商代数的局部化，作者证明了扭曲的半导出 Ringel-Hall 代数同构于 A 的扭曲扩展 Ringel-Hall 代数的 Drinfeld 双重。一个关键结果是：当 A 拥有倾斜对象 T 时，SDH(A) 同构于 Bridgeland 的 mod(End(T)op) 的 Hall 代数，从而统一了不同代数设定下的构造。

ABSTRACT

Let $\mathcal{A}$ be an arbitrary hereditary abelian category that may not have enough projective objects. For example, $\mathcal{A}$ can be the category of finite-dimensional representations of a quiver or the category of coherent sheaves on a smooth projective curve or on a weighted projective line. Inspired by the works of Bridgeland and Gorsky, we define the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$, denoted by $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathcal{A})$, to be the localization of a quotient algebra of the Ringel-Hall algebra of the category of $\mathbb{Z}/2$-graded complexes over $\mathcal{A}$. We obtain the following three main results. The semi-derived Ringel-Hall algebra has a natural basis. A twisted version of the semi-derived Ringel-Hall algebra of $\mathcal{A}$ is isomorphic to the Drinfeld double of the twisted extended Ringel-Hall algebra $\mathcal{H}_{tw}^e(\mathcal{A})$ of $\mathcal{A}$. If $\mathcal{A}$ has a tilting object $T$, then its semi-derived Ringel-Hall algebra is isomorphic to the $\mathbb{Z}/2$-graded semi-derived Hall algebra $\mathcal{S}\mathcal{D}\mathcal{H}_{\mathbb{Z}/2}(\mathrm{add} T)$ of the exact category $\mathrm{add} T$ defined by Gorsky, and so is isomorphic to Bridgeland's Hall algebra of $\mod (\mathrm{End}(T)^{op})$.

研究动机与目标

• 将半导出 Hall 代数的构造扩展到可能缺乏足够投射对象的遗传阿贝尔范畴。
• 将 Bridgeland 和 Gorsky 对缺乏投射生成元的范畴中半导出 Hall 代数的构造进行推广。
• 建立扭曲的半导出 Ringel-Hall 代数与扩展 Ringel-Hall 代数的 Drinfeld 双重之间的结构同构。
• 证明当存在倾斜对象 T 时，范畴 A 的半导出 Hall 代数同构于 Bridgeland 的 mod(End(T)op) 的 Hall 代数。
• 通过基于 Z/2-分次复形的统一框架，整合表示论中 Hall 代数的各种构造。

提出的方法

• 将半导出 Ringel-Hall 代数 SDH(A) 定义为 A 上 Z/2-分次复形的 Ringel-Hall 代数的商代数的局部化。
• 使用 Z/2-分次复形的范畴 CZ/2(A)，研究该设定下无链复形的同调性质。
• 引入量子环面 TZ/2,ac(A) 和 AZ/2,ac(A)-bimodule MZ/2(A)，以定义半导出 Hall 代数的代数结构。
• 构造 SDH(A) 的扭曲版本，并证明其同构于扭曲扩展 Ringel-Hall 代数 He_tw(A) 的 Drinfeld 双重。
• 应用倾斜理论，将 SDH(A) 与 T 为 A 中倾斜对象时的 add T 范畴联系起来。
• 通过在无链复形上进行局部化，并利用投射模范畴与 add T 之间范畴的同构，建立最终的同构关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为缺乏足够投射对象的遗传阿贝尔范畴定义半导出 Hall 代数？
• RQ2 在这些范畴中，扭曲的半导出 Hall 代数是否同构于扩展 Hall 代数的 Drinfeld 双重？
• RQ3 若 A 中存在倾斜对象 T，是否能保证 SDH(A) 同构于 Bridgeland 的 mod(End(T)op) 的 Hall 代数？
• RQ4 当缺乏投射生成元时，A 的半导出 Hall 代数与 Gorsky 定义的 Z/2-分次半导出 Hall 代数有何关系？
• RQ5 A 的扩展 Hall 代数的 Drinfeld 双重能否被实现为半导出 Hall 代数的构造？

主要发现

• 半导出 Ringel-Hall 代数 SDH(A) 拥有一个自然基，由 A 上 Z/2-分次复形范畴中对象的同构类构成。
• A 的扭曲半导出 Hall 代数同构于扭曲扩展 Ringel-Hall 代数 He_tw(A) 的 Drinfeld 双重。
• 当 A 拥有倾斜对象 T 时，SDH(A) 同构于 Gorsky 定义的 add T 的 Z/2-分次半导出 Hall 代数。
• 若 Λ = End(T)op 是一个遗传代数，则 SDH(A) ≃ SDH(mod Λ)，且 He_tw(A) 的 Drinfeld 双重同构于 He_tw(mod Λ) 的 Drinfeld 双重。
• 对于加权射影直线上的凝聚层范畴，扭曲的半导出 Hall 代数 SDHZ/2,tw(mod Λ) 同构于 Bridgeland 的 Hall 代数 DH(mod Λ)，也同构于 He_tw(A) 的 Drinfeld 双重。
• 即使 A 缺乏足够的投射对象，SDH(A) 与 Bridgeland Hall 代数之间的同构仍可通过倾斜等价保持成立。