[论文解读] Semi-group structure of all endomorphisms of a projective variety admitting a polarized endomorphism

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 11

一句话总结

本文证明，若一个射影概族 admits 一个极化或 int-放大自同态，则其具有有限多个可收缩的极射线，并在全自同态幺半群的有限指数子幺半群作用下， admits 一个等变极小模型程序（MMP）。关键结果包括：自同态作用在 Néron-Severi 群上的对角化性质、自同构群分量的有限性，以及在有理连通情形下，放大与 int-放大自同态的等价性。

ABSTRACT

Let $X$ be a projective variety admitting a polarized (or more generally, int-amplified) endomorphism. We show: there are only finitely many contractible extremal rays; and when $X$ is $\mathbb{Q}$-factorial normal, every minimal model program is equivariant relative to the monoid $SEnd(X)$ of all surjective endomorphisms, up to finite index. Further, when $X$ is rationally connected and smooth, we show: there is a finite-index submonoid $G$ of $SEnd(X)$ such that $G$ acts via pullback as diagonal (and hence commutative) matrices on the Neron-Severi group; the full automorphisms group $Aut(X)$ has finitely many connected components; and every amplified endomorphism is int-amplified.

研究动机与目标

• 理解 admits 极化或 int-放大自同态的射影概族的自同态幺半群结构。
• 证明此类概族仅有有限多个可收缩的极射线，即使不假设 K_X 是 Q- Cartier。
• 建立任何有限次极小模型程序（MMP）在全自同态幺半群的有限指数子幺半群作用下是等变的。
• 证明在有理连通光滑情形下，自同构群具有有限多个连通分量，且所有放大自同态均为 int-放大自同态。
• 证明有限指数子幺半群在 Néron-Severi 群上的作用是可对角化且交换的。

提出的方法

• 利用极化或 int-放大自同态的存在性，控制闭有效 1-循环锥中极射线的动力学行为。
• 应用对对数卡坦对的锥定理及翻转的存在性，分析极收缩结构。
• 构造 SEnd(X) 的有限指数子幺半群 G，使其在 MMP 上作用等变，确保自同态在每一步中可下降。
• 借助在 Q-阿贝尔簇 Y 上的相对 MMP，使用从阿贝尔簇 A 到 Y 的有限准平态伽罗瓦覆盖。
• 通过特征值分析与表示论，研究 Néron-Severi 群上的拉回作用，证明其可对角化。
• 利用自同构的某次幂在 NS_Q(X) 上作用平凡，导出 Aut(X)/Aut_0(X) 的分量群有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个 admits 极化或 int-放大自同态的射影概族，即使 K_X 不是 Q-Cartier，是否仅有有限多个可收缩的极射线？
• RQ2 全极小模型程序（MMP）是否可在自同态幺半群 SEnd(X) 的作用下（至多有限指数）实现等变？
• RQ3 SEnd(X) 的有限指数子幺半群在 Néron-Severi 群上的作用是否可对角化且交换？
• RQ4 在有理连通光滑情形下，所有放大自同态是否必然为 int-放大自同态？
• RQ5 此类概族的自同构群是否具有有限多个连通分量？

主要发现

• 具有极化或 int-放大自同态的射影概族，无论其是否为 K_X-负，仅有有限多个可收缩的极射线。
• 对于 Q-因子化正规概族，任何有限 MMP 序列在 SEnd(X) 的有限指数子幺半群 G 作用下是等变的。
• 在有理连通光滑情形下，存在 SEnd(X) 的有限指数子幺半群 G，使得对任意 g ∈ G，其在 NS_Q(X) 上的作用由对角线上为正整数的对角矩阵实现。
• 自同构群 Aut(X) 具有有限多个连通分量，且 Aut_0(X) 是线性代数群。
• 在 admits int-放大自同态的有理连通光滑射影概族上，每个放大自同态必为 int-放大自同态。
• 对任意 h ∈ SEnd(X)，其作用 h^M 在 NS_C(X) 上可对角化，且满足 (h^M)^* = (g_1^*)^{-1} ∘ g_2^*，其中 g_1, g_2 ∈ G ∩ IAmp(X)。