[论文解读] Semi-implicit energy-preserving numerical schemes for stochastic wave equation via SAV approach

Jianbo Cui, Jialin Hong+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2022

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本论文提出了一种用于具有广义非线性和乘性噪声的随机波动方程的半隐式、能量保持型数值格式，采用随机标量辅助变量（SAV）方法。通过将方程重构为包含随机SAV的高维系统，该方法确保了显式求解性，保持了修正能量演化律，并实现了时间方向的强收敛阶为1以及最优的空间收敛速率，这是首次针对非线性随机波动方程获得此类结果。

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze semi-implicit numerical schemes for the stochastic wave equation (SWE) with general nonlinearity and multiplicative noise. These numerical schemes, called stochastic scalar auxiliary variable (SAV) schemes, are constructed by transforming the considered SWE into a higher dimensional stochastic system with a stochastic SAV. We prove that they can be solved explicitly and preserve the modified energy evolution law and the regularity structure of the original system. These structure-preserving properties are the keys to overcoming the mutual effect of the noise and nonlinearity. By proving new regularity estimates of the introduced SAV, we establish the strong convergence rate of stochastic SAV schemes and the further fully-discrete schemes with the finite element method in spatial direction. To the best of our knowledge, this is the first result on the construction and strong convergence of semi-implicit energy-preserving schemes for nonlinear SWE.

研究动机与目标

• 为解决具有超线性系数和乘性噪声的非线性随机波动方程缺乏显式、能量保持型数值格式的问题。
• 克服经典显式格式的发散问题以及传统能量保持方法中隐式求解的计算负担。
• 建立半隐式、结构保持格式在时间和空间方向上的强收敛速率。
• 提出一种随机SAV重构方法，以在随机效应下保持平均能量演化律。
• 为随机辅助变量提供严格的正则性估计，以支持收敛性分析。

提出的方法

• 利用随机标量辅助变量（SAV）将随机波动方程重构为高维系统，以解耦能量泛函。
• 基于指数Runge–Kutta和标准Runge–Kutta方法，为SAV重构系统构造半隐式时间格式。
• 应用空间有限元方法推导全离散格式，确保稳定性与相容性。
• 证明所提格式能够保持修正能量演化律以及原始系统的正则性结构。
• 为处理噪声与非线性之间的相互作用，建立随机辅助变量的新正则性估计。
• 利用Hölder不等式、迹估计及空间投影误差界，推导时间与空间方向的强收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为非线性随机波动方程构造出既显式可解又保持能量的半隐式数值格式？
• RQ2 随机SAV方法如何处理噪声与非线性之间的相互影响，以保持能量演化律？
• RQ3 所提出的随机SAV格式在时间和空间方向上的强收敛速率是多少？
• RQ4 能否证明随机辅助变量具有足够的正则性以支持收敛性分析？
• RQ5 在加性噪声情况下，该方法是否如理论预测的那样保持线性能量增长？

主要发现

• 所提出的随机SAV格式具有显式可解性，并保持修正能量演化律，克服了经典显式格式的强发散问题。
• 格式在时间方向达到强收敛阶1，通过时间误差的log-log图数值验证。
• 空间收敛速率达到最优，误差受 $ Ch^{eta_1} $ 控制，其中 $ eta_1 o 2 $ 在足够正则性条件下成立。
• 在加性噪声情况下，平均离散能量随时间线性增长，与理论预期一致。
• 期望能量的误差受 $ |err_0| + Ch^{eta_1} + C( au + h^{2eta/3}) $ 控制，证实了时间与空间方向的收敛性。
• 本工作首次为具有乘性噪声的非线性随机波动方程提供了半隐式、能量保持格式的强收敛结果。