[论文解读] Semi-invariants of Symmetric Quivers

Riccardo Aragona|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文刻画了有限型与 tame 型对称quiver的正交与辛表示的半不变量环。证明当定义矩阵为反对称时，这些环由行列式半不变量 $ c^V $ 和 Pfaffian 半不变量 $ pf^V $ 生成，通过群作用将经典不变量理论推广至对称quiver表示。

ABSTRACT

This is my PhD thesis supervised by Professor Jerzy Weyman. A symmetric quiver $(Q,σ)$ is a finite quiver without oriented cycles $Q=(Q_0,Q_1)$ equipped with a contravariant involution $σ$ on $Q_0\sqcup Q_1$. The involution allows us to define a nondegenerate bilinear form $$ on a representation $V$ of $Q$. We shall say that $V$ is orthogonal if $$ is symmetric and symplectic if $$ is skew-symmetric. Moreover we define an action of products of classical groups on the space of orthogonal representations and on the space of symplectic representations. So we prove that if $(Q,σ)$ is a symmetric quiver of finite type or of tame type then the rings of semi-invariants for this action are spanned by the semi-invariants of determinantal type $c^V$ and, in the case when matrix defining $c^V$ is skew-symmetric, by the Pfaffians $pf^V$.

研究动机与目标

• 描述有限型与tame型对称quiver的正交与辛表示的半不变量环的结构。
• 通过在表示空间上定义经典群的积的作用，将经典不变量理论推广至对称quiver。
• 证明对于有限型与tame型对称quiver，半不变量环由 $ c^V $ 与 $ pf^V $ 生成。
• 建立半不变量与权重、分拆及反射函子等组合数据之间的联系。
• 为未来在对称quiver设定下研究簇代数与虚拟半不变量奠定基础工具。

提出的方法

• 将对称quiver $ (Q, \tau) $ 定义为在顶点与箭头上具有反变对合 $ \tau $ 的quiver，从而在表示上赋予非退化双线性型。
• 通过 $ \tau $ 诱导的对称与反对称双线性型，引入正交与辛表示。
• 在正交与辛表示空间上分别定义群作用 $ SO(Q, \beta) $ 与 $ SSp(Q, \beta) $。
• 利用反射函子与Coxeter函子，关联不同quiver类型与维数向量下的半不变量。
• 应用最高权理论与Schur模分析多项式不变量的结构，特别通过Cauchy公式与对偶性。
• 刻画半不变量 $ c^V $ 的权 $ \tilde{\chi} = \langle \beta, \cdot \rangle $，表明其在 $ \beta $ 支持的源点与汇点处交替取值为1与-1，其余位置为零，并通过互补列条件推导分拆约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限型或tame型对称quiver的正交表示，其半不变量环的结构是什么？
• RQ2 对称quiver的半不变量如何与行列式与Pfaffian等经典不变量相关联？
• RQ3 半不变量环的生成元能否通过维数向量与权重等组合数据显式描述？
• RQ4 反射函子与对偶函子如何影响对称quiver的半不变量？
• RQ5 权 $ \chi = \langle \beta, \cdot \rangle $ 在决定半不变量环结构中起什么作用？

主要发现

• 对于有限型或tame型对称quiver，当定义矩阵为反对称时，其半不变量环由行列式半不变量 $ c^V $ 与Pfaffian半不变量 $ pf^V $ 生成。
• 半不变量 $ c^V $ 的权 $ \chi = \langle \beta, \cdot \rangle $ 在 $ \beta $ 支持的源点与汇点处交替取值为1与-1，其余位置为零。
• 与权 $ \chi $ 关联的分拆族由互补列条件确定：$ \lambda(a_i) $ 是相对于 $ \alpha_i $ 的 $ \lambda(a_{i-1}) $ 的补集，初始与末尾列的高度分别为 $ \alpha_{m_1} $ 与 $ \alpha_{m_t} $。
• 不可约表示的维数向量 $ \beta $ 满足 $ \alpha_{m_t} = \alpha_{m_{t-1}} - \alpha_{m_{t-2}} + \cdots \pm \alpha_{m_1} $，反映出交替权模式。
• 半不变量环 $ \mathbb{K}[ORep(Q,\beta)]^{SO(Q,\beta)} $ 同构于在 $ SL(V) $ 作用下Schur模的不变量环，且非零分量仅出现在 $ \chi(i) \neq 0 $ 的顶点处。
• 证明依赖于Cauchy公式与最高权模的结构，表明非零不变量仅在分拆序列满足严格对偶性与互补性条件时出现。