[论文解读] Semi-isometric CR immersions of CR manifolds into K\"ahler manifolds and applications

Duong Ngoc Son|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用 2

一句话总结

本文研究了严格拟强凸CR流形到凯勒流形的半等距CR浸入，聚焦于第二基本形式与平均曲率。它建立了实超曲面CR脐点性的精确条件，将Ji-Yuan线性定理推广至三维CR流形，并利用Kohn-Laplacian的第一正特征值，证明了低余维浸入的“首次间隙”定理。

ABSTRACT

We study the second fundamental form of semi-isometric CR immersions from strictly pseudoconvex CR manifolds into K\"ahler manifolds. As an application, we give a precise condition for the CR umbilicality of real hypersurfaces, extending an well-known theorem by Webster on the nonexistence of CR umbilical points on generic real ellipsoids. As other applications, we extend the linearity theorem of Ji-Yuan for CR immersions into spheres with vanishing second fundamental form to the important case of three-dimensional manifolds, and prove the ``first gap'' theorem in the spirit of Webster, Faran, Cima-Suffridge, and Huang for semi-isometric CR immersions into a complex euclidean space of ``low'' codimension. Our new approach to the linearity theorem is based on the study of the first positive eigenvalue of the Kohn Laplacian.

研究动机与目标

• 刻画凯勒流形中实超曲面上的CR脐点，推广Webster在一般椭球面上的非存在性结果。
• 将Ji-Yuan关于球面中CR浸入的线性定理推广至三维CR流形的情形。
• 为进入低余维复欧氏空间的半等距CR浸入建立“首次间隙”定理。
• 将平方平均曲率|H|²与定义函数的横截曲率联系起来，并利用此关系界定Kohn-Laplacian的第一正特征值。
• 证明在适当的全局条件下，具有消失迹部分第二基本形式的半等距CR浸入必为线性。

提出的方法

• 通过条件dθ = F*ω定义半等距CR浸入，其中θ是M上的伪Hermitian结构，ω是X上的凯勒形式。
• 利用Chern与Tanaka-Webster联络的Gauss公式，引入伪Hermitian第二基本形式II。
• 通过关于Levi度量对II取迹，定义(1,0)平均曲率向量H，并将|H|²作为曲率量进行研究。
• 在紧致CR流形上使用Kohn-Laplacian □b，并应用Li-Son L²估计（定理1.1）以界定其第一正特征值λ1。
• 应用λ1界中等号成立的刻画，推导出当|H|²为常数且等号成立时，每个bI := □bF^I必为常数或对应于λ1的特征函数。
• 利用CR延拓定理与幂级数展开，证明对应于λ1的□b特征函数必为线性或常数，从而推出F的线性性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半等距CR浸入到凯勒流形中具有消失迹部分第二基本形式？
• RQ2 当CR流形的Kohn-Laplacian的第一特征值达到Li-Son不等式给出的上界时，该流形在何种条件下全局CR等价于球面？
• RQ3 凯勒流形中实超曲面的CR脐点性的精确条件是什么？该条件如何推广Webster的非存在性结果？
• RQ4 是否可在不假设浸入实现球面嵌入的前提下，将球面中CR浸入的线性定理推广至三维CR流形？
• RQ5 在低余维浸入中，N ≤ 2n是否为迹部分第二基本形式消失的必要条件？

主要发现

• 当适当选取定义函数ρ时，平方平均曲率|H|²与ρ的横截曲率r(ρ)重合，从而将几何与分析不变量联系起来。
• Li-Son L²估计（定理1.1）给出了Kohn-Laplacian第一正特征值λ1的上界，其表达式以|H|²的L²范数为参数。
• 若λ1界中等号成立且|H|²为常数，则每个bI := □bF^I要么为常数，要么为对应于λ1的特征函数。
• 对于紧致的、严格拟强凸的三维CR流形，若第二基本形式在T^{1,0}M上消失，则F为线性，且M与S^3 CR等价。
• 复Whitney映射W_n提供了一个反例，表明定理1.2与1.5中的余维条件N ≤ 2n是必要的，因为当N > 2n时其具有非平凡的脐点。
• 当环境空间为平坦且M为CR球面时，迹部分第二基本形式II◦恒为零，从而由定理1.2推出线性性。