[论文解读] Semi-Lagrangian Finite-Element Exterior Calculus for Incompressible Flows

Wouter Tonnon, Ralf Hiptmair|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2023

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 1

一句话总结

本文提出了一种在单纯形网格上求解不可压缩Navier-Stokes方程的半拉格朗日有限元外微分计算（FEEC）格式，将动量方程重新表述为速度1-形式的非线性输运问题。该方法在空间和时间上均达到二阶精度，确保在粘性系数趋近于零时具有优异的稳定性，并通过拉格朗日乘子实现能量守恒，从而能够准确模拟具有结构保持特性的无粘Euler流动。

ABSTRACT

We develop a mesh-based semi-Lagrangian discretization of the time-dependent incompressible Navier-Stokes equations with free boundary conditions recast as a non-linear transport problem for a momentum 1-form. A linearly implicit fully discrete version of the scheme enjoys excellent stability properties in the vanishing viscosity limit and is applicable to inviscid incompressible Euler flows. Conservation of energy and helicity are enforced separately.

研究动机与目标

• 在任意单纯形网格上，利用有限元外微分计算发展不可压缩Navier-Stokes方程的结构保持离散化。
• 解决在高稳定性与能量守恒条件下模拟无粘不可压缩流动的挑战。
• 将半拉格朗日方法扩展至微分形式，特别是动量1-形式，以实现几何一致的输运。
• 在空间和时间上均实现二阶精度，同时保持不可压缩性与能量等关键物理不变量。

提出的方法

• 利用微分形式与外微分计算，将不可压缩Navier-Stokes方程重新表述为动量1-形式ω的非线性输运问题。
• 基于流动诱导的被输运1-形式快照的反向拉回，使用后向差分商离散材料导数Duω。
• 在固定单纯形网格上应用伽辽金有限元法，利用Hodge分解与离散外微分计算进行空间离散化。
• 引入拉格朗日乘子以在无粘（ϵ=0）情况下强制实现能量守恒，确保结构保持行为。
• 在有限元空间中使用“小边”以丰富自由度，提升近似稳定性与精度。
• 实现一种线性隐式时间积分格式，确保在粘性系数趋近于零时的稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 该半拉格朗日有限元外微分计算格式是否能在一般单纯形网格上实现不可压缩流动的二阶收敛？
• RQ2 在粘性系数趋近于零时，该方法的性能如何，特别是在无粘Euler流动中的表现？
• RQ3 在半拉格朗日设置下，能否有效强制实现不可压缩Navier-Stokes方程的能量守恒？
• RQ4 将“小边”作为自由度使用，对格式的稳定性与精度有何影响？
• RQ5 与标准欧拉方法相比，该方法在计算成本与守恒性质方面表现如何？

主要发现

• 线性隐式全离散格式在粘性系数趋近于零时表现出极佳的稳定性，能够稳健模拟无粘不可压缩Euler流动。
• 通过数值实验验证，该格式在单纯形网格上实现了空间与时间的二阶收敛。
• 通过拉格朗日乘子成功实现了能量守恒，确保离散能量保持有界并准确跟踪连续能量关系。
• 通过在边界上使用迹算子与外微分计算算子，该格式保持了不可压缩性与切向边界条件。
• 数值结果表明，该格式的保守变体在长时间模拟中能保持能量守恒，而非保守变体则表现出能量漂移。
• 该方法适用于复杂区域，在粒子或边部分被输运出域时仍能保持精度，且对边界数据的处理具有一致性。