[论文解读] Semi-linear Backward Stochastic Integral Partial Differential Equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process

Shaokuan Chen, Shanjian Tang|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 7

一句话总结

本文为由布朗运动和泊松点过程驱动的半线性后向随机积分偏微分方程（BSIPDEs）的经典解建立了概率表示。通过结合由带跳的SDE生成的随机流的逆与后向SDE的解，作者推导出一个随机费曼-卡茨公式，在系数满足适当的正则性和可积性条件时，证明了解的存在性与唯一性。

ABSTRACT

In this paper we investigate classical solution of a semi-linear system of backward stochastic integral partial differential equations driven by a Brownian motion and a Poisson point process. By proving an Itô-Wentzell formula for jump diffusions as well as an abstract result of stochastic evolution equations, we obtain the stochastic integral partial differential equation for the inverse of the stochastic flow generated by a stochastic differential equation driven by a Brownian motion and a Poisson point process. By composing the random field generated by the solution of a backward stochastic differential equation with the inverse of the stochastic flow, we construct the classical solution of the system of backward stochastic integral partial differential equations. As a result, we establish a stochastic Feynman-Kac formula.

研究动机与目标

• 为由布朗运动和泊松点过程驱动的一类半线性后向随机积分PDE系统，建立经典解的存在性与唯一性。
• 通过随机流的逆与带跳的后向SDE，提供解的概率解释。
• 将随机费曼-卡茨公式推广至跳跃扩散情形，涵盖扩散与跳跃两部分。
• 将BSIPDE的概率方法从仅扩散的情形推广至包含跳跃测度与补偿泊松随机测度的情形。

提出的方法

• 推导跳跃扩散的伊藤-温茨尔公式，以处理在布朗运动与泊松噪声共同作用下随机流的动力学。
• 构造由布朗运动与泊松点过程驱动的SDE的逆随机流，并在适当条件下确保其正则性。
• 将后向SDE的解与逆流复合，生成BSIPDE系统的经典解。
• 应用关于随机演化方程的抽象结果，确保解分量的正则性与适应性。
• 利用伊藤-温茨尔公式推导复合过程的SPDE动态，验证其满足目标BSIPDE。
• 施加条件 (C5)_{k+1} 与 (C6)，其中 k > 2 + n/2，以确保经典解所需的足够空间正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由布朗运动与泊松点过程共同驱动的半线性BSIPDE构造出经典解？
• RQ2 如何利用带跳的前向与后向SDE，以概率方式表示此类BSIPDE的解？
• RQ3 在存在跳跃扩散与泊松随机测度的情况下，随机费曼-卡茨公式是否仍然成立？
• RQ4 对系数施加何种正则性与可积性条件，可确保经典解的存在性与唯一性？

主要发现

• BSIPDE的解 (p, q, r) 构造为：p(t,x) = Y_t(X_t^{-1}(x))，q(t,x) = Z_t(X_{t-}^{-1}(x)) - ∂p(t-,x)σ(t,x)，以及 r(t,e,x) = p(t-,ϕ_{t,e}^{-1}(x)) - p(t-,x) + U_t(e, X_{t-}^{-1}(ϕ_{t,e}^{-1}(x)))。
• 在条件 (C5)_{k+1} 与 (C6) 下，且 k > 2 + n/2 时，所构造的三元组 (p,q,r) 是BSIPDE (1.1) 的经典解。
• 解在适应过程的意义下满足BSIPDE，其漂移、扩散与跳跃分量通过伊藤-温茨尔公式得到恰当处理。
• 通过证明任意经典解必须与通过逆流与后向SDE分量构造的解一致，确立了经典解的唯一性。
• 本文证明了BSIPDE解的随机费曼-卡茨公式，将其与带跳的前向-后向SDE的解联系起来。