[论文解读] Semi-reflexive polytopes

Tiago Royer|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文引入并表征了半自对偶多面体——一类有理多面体，其Ehrhart函数$L_P(s)$在扩展到实数缩放参数$s$时，满足$L_P(s) = L_P(\lfloor s \rfloor)$。本文证明，一个多面体是半自对偶的，当且仅当其超平面描述中法向量为整数且右端项属于\{0,1\}，并建立了一个结论：一个多面体是自对偶的，当且仅当它及其对偶都是半自对偶的。

ABSTRACT

The Ehrhart function $L_P(t)$ of a polytope $P$ is usually defined only for integer dilation arguments $t$. By allowing arbitrary real numbers as arguments we may also detect integer points entering (or leaving) the polytope in fractional dilations of $P$, thus giving more information about the polytope. Nevertheless, there are some polytopes that only gain new integer points for integer values of $t$; that is, these polytopes satisfy $L_P(t) = L_P(\lfloor t floor)$. We call those polytopes semi-reflexive. In this paper, we give a characterization of these polytopes in terms of their hyperplane description, and we use this characterization to show that a polytope is reflexive if and only if both it and its dual are semi-reflexive.

研究动机与目标

• 定义并表征一类新的有理多面体——半自对偶多面体，使得在缩放下整数点计数在实数与整数缩放参数之间保持不变。
• 将经典的Ehrhart函数扩展到实数缩放参数，并分析其在何种情况下与整数限制下的行为完全一致。
• 通过基于对偶性的方法，建立自对偶多面体的表征，利用多面体及其对偶的半自对偶性质。
• 提供一个基于超平面的半自对偶多面体的判别准则，表明此类多面体可被具有整数法向量和右端项在\{0,1\}中的最小表示所刻画。

提出的方法

• 为实数$s$定义扩展的Ehrhart函数$L_P(s)$，其中$L_P(s) = \#(sP \cap \mathbb{Z}^d)$，并与经典的整数值函数$L_P(t)$进行比较。
• 证明$L_P(s) = L_P(\lfloor s \rfloor)$成立当且仅当多面体$P$具有超平面描述$P = \bigcap_{i=1}^n \{x \mid \langle a_i, x \rangle \leq b_i\}$，其中$a_i \in \mathbb{Z}^d$且$b_i \in \{0,1\}$。
• 使用Iverson括号记号表达在缩放多面体中的成员关系，并证明当$a_i$为整数且$b_i \in \{0,1\}$时，对所有整数$x$，条件$\langle a_i, x \rangle \leq s b_i$等价于$\langle a_i, x \rangle \leq \lfloor s \rfloor b_i$。
• 建立关于相对内部的对偶表征：$L_{P^\circ}(s) = L_{P^\circ}(\lceil s \rceil)$成立当且仅当满足相同的超平面条件。
• 利用多面体的对偶性，证明$P$是自对偶的当且仅当$P$及其对偶$P^*$都是半自对偶的，基于自对偶多面体在整数顶点和对偶包含关系下的自对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 何种条件下，有理多面体的Ehrhart函数在实数与整数缩放参数之间保持不变？
• RQ2 如何通过其超平面描述表征半自对偶多面体？
• RQ3 通过何种对偶关系，半自对偶多面体与自对偶多面体相关联？
• RQ4 是否能通过具有整数法向量和右端项在\{0,1\}中的超平面描述，完全捕捉分数缩放下整数点的行为？
• RQ5 是否存在基于多面体相对内部的半自对偶多面体的对偶表征？

主要发现

• 有理多面体$P$是半自对偶的，当且仅当它可被超平面描述$P = \bigcap_{i=1}^n \{x \mid \langle a_i, x \rangle \leq b_i\}$表示，其中$a_i \in \mathbb{Z}^d$且$b_i \in \{0,1\}$。
• 对于半自对偶多面体，其Ehrhart函数$L_P(s)$对所有实数$s \geq 0$满足$L_P(s) = L_P(\lfloor s \rfloor)$，意味着在分数缩放下不会新增整数点。
• 该表征可推广至相对内部：$L_{P^\circ}(s) = L_{P^\circ}(\lceil s \rceil)$成立当且仅当满足相同的超平面条件。
• 每个自对偶多面体都是半自对偶的，因为它满足所有$b_i = 1$且$a_i$为整数的超平面条件。
• 一个多面体$P$是自对偶的，当且仅当$P$及其对偶$P^*$都是半自对偶的，从而建立了一种基于对偶性的表征。
• 半自对偶多面体的顶点为整数，当且仅当其对偶也满足半自对偶条件，这是由于顶点与面描述之间的对偶性。