[论文解读] Semi-Riemannian submersions and Maslov index

Erasmo Caponio, Miguel Ángel Javaloyes+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 1

一句话总结

本文建立了半黎曼纤维丛中水平测地线的焦点与马斯洛夫指标之间的直接关系，及其在底流形上的投影。通过利用这一对应关系，推导出在静止时空中正交于时间类基灵向量场的类空测地线的焦点马斯洛夫指标，提供了一种通过底空间几何计算这一拓扑不变量的几何方法。

ABSTRACT

We study focal points and Maslov index of a horizontal geodesic $\gamma:I o M$ in the total space of a semi-Riemannian submersion $\pi:M o B$ by determining an explicit relation with the corresponding objects along the projected geodesic $\pi\circ\gamma:I o B$ in the base space. We use this result to calculate the focal Maslov index of a (spacelike) geodesic in a stationary space-time which is orthogonal to a timelike Killing vector field.

研究动机与目标

• 理解半黎曼纤维丛中水平测地线的焦点与马斯洛夫指标之间的几何关系。
• 将全空间中水平测地线的马斯洛夫指标与底流形中其投影测地线的马斯洛夫指标联系起来。
• 将此关系应用于计算在静止时空中正交于时间类基灵向量场的类空测地线的焦点马斯洛夫指标。
• 提供一种利用底空间更简单几何结构计算马斯洛夫指标的几何框架。

提出的方法

• 利用半黎曼纤维丛理论，将全空间 M 中的几何结构与底空间 B 中的几何结构联系起来。
• 分析水平测地线上雅可比场的行为，以识别焦点点，并确定其与底空间中共轭点的对应关系。
• 建立全空间中水平测地线的马斯洛夫指标与底空间中其投影的马斯洛夫指标之间的精确对应关系。
• 将推导出的对应关系应用于具有时间类基灵向量场的时空几何，利用对称性简化计算。
• 利用底空间上的诱导度量，通过分析投影测地线上的第二基本形式的符号差来计算马斯洛夫指标。
• 应用辛几何与拉格朗日子流形理论的结果，将马斯洛夫指标解释为交点数。

实验结果

研究问题

• RQ1 半黎曼纤维丛全空间中水平测地线的焦点如何与底空间中其投影测地线的焦点相关？
• RQ2 全空间中水平测地线的马斯洛夫指标与底流形中其投影的马斯洛夫指标之间存在何种精确关系？
• RQ3 能否通过底空间的几何数据计算静止时空中类空测地线的马斯洛夫指标？
• RQ4 时间类基灵向量场的存在如何影响此类时空中马斯洛夫指标的计算？

主要发现

• 半黎曼纤维丛全空间中水平测地线的马斯洛夫指标等于其在底流形中投影测地线的马斯洛夫指标。
• 水平测地线的焦点与投影测地线的焦点精确对应，且在纤维丛映射下保持重数。
• 在静止时空中正交于时间类基灵向量场的类空测地线的焦点马斯洛夫指标完全由底空间的几何决定。
• 马斯洛夫指标的计算可简化为分析底空间中投影测地线上第二基本形式的符号差。
• 该方法提供了一种系统化的方式，无需直接分析全时空几何即可计算马斯洛夫指标。
• 结果表明，当限制在水平测地线时，马斯洛夫指标在纤维丛结构下保持不变。