[论文解读] Semi-uniform domains and the $A_{\infty}$ property for harmonic measure

Jonas Azzam|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2017

Analytic and geometric function theory参考文献 28被引用 9

一句话总结

本文建立了调和测度满足 $A_{\infty}$ 性质的区域的几何刻画，表明对于具有 Ahlfors-David 正则且均匀可 rectifiable 边界的区域，半均匀性与均匀可 rectifiability 是 $A_{\infty}$ 性质的充要条件。作者将经典的调和测度估计推广至半均匀区域，并证明具有均匀可 rectifiable 边界的此类区域包含大块的弦弧子区域，同时由于 Hrycak 提供的反例，避免了包含 Lipschitz 子区域的预期。

ABSTRACT

We study the properties of harmonic measure in semi-uniform domains. Aikawa and Hirata showed in \cite{AH08} that, for John domains satisfying the capacity density condition (CDC), the doubling property for harmonic measure is equivalent to the domain being semi-uniform. Our first result removes the John condition by showing that any domain satisfying the CDC whose harmonic measure is doubling is semi-uniform. Next, we develop a substitute for some classical estimates on harmonic measure in nontangentially accessible domains that works in semi-uniform domains. We also show that semi-uniform domains with uniformly rectifiable boundary have big pieces of chord-arc subdomains. We cannot hope for big pieces of Lipschitz subdomains (as was shown for chord-arc domains by David and Jerison \cite{DJ90}) due to an example of Hrycak, which we review in the appendix. Finally, we combine these tools to study the $A_{\infty}$-property of harmonic measure. For a domain with Ahlfors-David regular boundary, it was shown by Hofmann and Martell that the $A_{\infty}$ property of harmonic measure implies uniform rectifiability of the boundary \cite{HM15,HLMN17} . Since $A_{\infty}$-weights are doubling, this also implies the domain is semi-uniform. Our final result shows that these two properties, semi-uniformity and uniformly rectifiable boundary, also imply the $A_{\infty}$ property for harmonic measure, thus classifying geometrically all domains for which this holds.

研究动机与目标

• 以区域结构为依据，几何地刻画调和测度的 $A_{\infty}$ 性质。
• 在先前将加倍调和测度与半均匀性关联的结果中，去除 John 条件。
• 在半均匀区域中发展类似于 nontangentially accessible (NTA) 区域中的调和测度估计。
• 证明具有均匀可 rectifiable 边界的半均匀区域包含大块的弦弧子区域。
• 证明半均匀性与均匀可 rectifiable 边界共同蕴含调和测度的 $A_{\infty}$ 性质。

提出的方法

• 证明了满足容量密度条件（CDC）且具有加倍调和测度的任意区域均为半均匀区域，从而无需依赖 John 条件。
• 在半均匀区域中发展了经典调和测度估计在 nontangentially accessible 域中的替代形式。
• 利用均匀可 rectifiability 理论与双-Lipschitz 嵌入技术，分析具有均匀可 rectifiable 边界的半均匀区域中的弦弧子区域。
• 构造了一个反例（Hrycak 的例子），表明在这些区域中无法期望存在大块的 Lipschitz 子区域。
• 结合半均匀性、均匀可 rectifiability 与 $A_{\infty}$ 权理论，证明了主要的刻画结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 Ahlfors-David 正则边界的区域中，调和测度的 $A_{\infty}$ 性质是否等价于半均匀性与均匀可 rectifiable 边界？
• RQ2 能否从加倍调和测度与半均匀性之间等价关系中去除 John 条件？
• RQ3 具有均匀可 rectifiable 边界的半均匀区域是否包含大块的弦弧子区域？
• RQ4 在具有均匀可 rectifiable 边界的半均匀区域中，能否期望存在大块的 Lipschitz 子区域？
• RQ5 在具有 Ahlfors-David 正则边界的区域中，哪些几何条件蕴含调和测度的 $A_{\infty}$ 性质？

主要发现

• 对于具有 Ahlfors-David 正则边界的区域，调和测度的 $A_{\infty}$ 性质成立当且仅当区域是半均匀的且其边界是均匀可 rectifiable 的。
• 在满足容量密度条件的区域中，半均匀性等价于加倍调和测度，且无需依赖 John 条件。
• 具有均匀可 rectifiable 边界的半均匀区域包含大块的弦弧子区域。
• 如 Hrycak 的例子所示，无法期望存在大块的 Lipschitz 子区域。
• 作者构造了具有 ADR 和 UR 边界的半均匀区域，使得其边界与任意常数 $L$ 的 Lipschitz 图的交集测度至多为 $\varepsilon$，其中 $L>0$ 且 $\varepsilon>0$ 均任意。
• $A_{\infty}$ 性质蕴含半均匀性与均匀可 rectifiability，反之亦然，从而完成了调和测度 $A_{\infty}$ 性质的几何分类。