[论文解读] Semi-wave, traveling wave and spreading speed for monostable cooperative systems with nonlocal diffusion and free boundaries

Yihong Du, Wenjie Ni|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2020

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 42被引用 7

一句话总结

本文建立了一个系统框架，用于确定具有非局部扩散和自由边界的一致性合作系统中的传播速度，证明了传播速度的有限性或无限性（加速）取决于核函数的衰减速率。文章推导出半波和行波的精确估计，表明当核函数衰减为 $|x|^{-\beta}$ 形式时，传播速度表现出精确的渐近行为，这是首次针对具有非局部扩散的多物种系统获得此类结果。

ABSTRACT

We consider a class of cooperative reaction-diffusion systems with free boundaries in one space dimension, where the diffusion terms are nonlocal, given by integral operators involving suitable kernel functions, and they are allowed not to appear in some of the equations in the system. The problem is monostable in nature, resembling the well known Fisher-KPP equation. Such a system covers various models arising from mathematical biology, with the Fisher-KPP equation as the simplest special case, where a "spreading-vanishing" dichotomy is known to govern the long time dynamical behaviour. The question of spreading speed is widely open for such systems except for the scalar case. In this paper, we develop a systematic approach to determine the spreading profile of the system, and obtain threshold conditions on the kernel functions which decide exactly when the spreading has finite speed, or infinite speed (accelerated spreading). This relies on a rather complete understanding of both the associated semi-waves and traveling waves. When the spreading speed is finite, we show that the speed is determined by a particular semi-wave, and obtain sharp estimates of the semi-wave profile and the spreading speed. For kernel functions that behave like $|x|^{-γ}$ near infinity, we are able to obtain better estimates of the spreading speed for both the finite speed case, and the infinite speed case, which appear to be the first for this kind of free boundary problems, even for the special Fisher-KPP equation.

研究动机与目标

• 确定具有非局部扩散和自由边界的协同反应-扩散系统中的传播速度。
• 识别决定传播是否以有限速度或无限速度（加速）进行的核函数的阈值条件。
• 在有限传播和加速传播两种情形下，建立半波解形貌和传播速度的精确估计。
• 将已知的标量Fisher-KPP方程结果推广至具有非局部扩散的多物种协同系统。
• 首次为这类系统提供传播速度的定量估计，特别是针对幂律衰减核函数。

提出的方法

• 分析通过积分算子与核函数 $J_i(x)$ 定义的非局部扩散项的反应-扩散方程组。
• 引入一个自由边界问题，其中区域 $ (g(t), h(t)) $ 随时间根据边界处种群通量演化。
• 提出一种扰动半波问题，以研究给定速度下半波解的存在性与唯一性。
• 利用比较原理与渐近分析，推导出半波解形貌与传播速度的精确边界。
• 应用半波与行波之间的二分法论证，以分类长期行为。
• 采用幂律假设构造下解，证明当核函数衰减为 $|x|^{-\beta}$ 且 $\beta \in (1,2)$ 时，传播为加速型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非局部扩散和自由边界的协同系统中，核函数满足何种条件时，传播速度保持有限或变为无限（加速）？
• RQ2 在有限速度情形下，传播速度如何确定？其精确渐近行为是什么？
• RQ3 半波解的精确形貌是什么？它与传播速度有何关系？
• RQ4 核函数的不同衰减速率（如 $|x|^{-\gamma}$）如何影响传播动力学？
• RQ5 能否对有限速度与无限速度情形下的传播速度进行定量估计，特别是针对幂律核函数？

主要发现

• 对于在无穷远处衰减为 $|x|^{-\gamma}$ 形式的核函数，本文在有限速度与无限速度两种情形下均建立了传播速度的精确估计。
• 当传播速度为有限时，其由特定的半波解精确确定，且该半波解的形貌得到精确估计。
• 对于满足 $\gamma \in (1,2)$ 的核函数，本文证明了加速传播，且传播前沿以 $t^{\gamma/2}$ 的速率增长，这是首次针对具有非局部扩散的自由边界问题获得此类定量结果。
• 本文推导出传播前沿的精确渐近行为，表明当 $\gamma \in (1,2)$ 时，$c_0 t - h(t)$ 与 $c_0 t + g(t)$ 均以 $t^{1-\gamma/2}$ 的速率增长。
• 证明了当主特征值 $\tilde{\lambda}_1 < 0$ 时传播速度为有限，当 $\tilde{\lambda}_1 \geq 0$ 时传播速度为无限（加速），提供了精确的阈值条件。
• 通过幂律假设构造下解，证明当 $\gamma \in (1,2)$ 时传播速度为无限，并为传播前沿的增长速率提供了匹配的上下界。