[论文解读] Semianalytical solutions of Ising-like and Potts-like magnetic polymers on the Bethe lattice

Nathann T. Rodrigues, Tiago J. Oliveira|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2022

Theoretical and Computational Physics参考文献 78被引用 4

一句话总结

本文针对在Bethe格点上的伊辛型与庞茨型磁性聚合物，提出了半解析解，通过自避行走与自旋相关相互作用建模。研究揭示了丰富的相行为，其中聚合物塌陷转变与磁有序化相互耦合，临界转变与一级相变由三临界点和临界端点分隔，具体取决于自旋态数q和模型类型。

ABSTRACT

We study magnetic polymers, defined as self-avoiding walks where each monomer $i$ carries a "spin'' $s_i$ and interacts with its first neighbor monomers, let us say $j$, via a coupling constant $J(s_i,s_j)$. Ising-like [$s_i = \pm 1$, with $J(s_i,s_j) = \varepsilon s_i s_j$] and Potts-like [$s_i = 1,\ldots,q$, with $J(s_i,s_j)=\varepsilon_{s_i} \delta(s_i,s_j)$] models are investigated. Some particular cases of these systems have recently been studied in the continuum and on regular lattices, and are related to interesting applications. Here, we solve these models on Bethe lattices of ramification $\sigma$, focusing on the ferromagnetic case in zero external magnetic field. In most cases, the phase diagrams present a non-polymerized (NP) and two polymerized phases: a paramagnetic (PP) and a ferromagnetic (FP) one. However, quite different thermodynamic properties are found depending on $q$ in the Potts-like polymers and on whether one uses the Ising or Potts coupling in the two-state systems. Importantly, these results indicate that when $q\le 6$ the spin ordering transition is preceded by the polymer collapse transition, whereas for $q\ge 7$ and in the Ising case these transitions happen together at critical-end-points. Some interesting non-standard Potts models are also studied, such as the lattice version of the model for epigenetic marks in the chromatin introduced in [PRX {\bf 6}, 041047 (2016)]. In addition, the solution of the dilute Ising and dilute Potts models on the Bethe lattice are also presented here, once they are important to understand the PP-FP transitions.

研究动机与目标

• 研究自旋携带的自避行走在Bethe格点上聚合物塌陷与磁有序化之间的相互作用。
• 确定自旋态数q与耦合类型（伊辛型与庞茨型）如何影响相变的有序性与临界性。
• 在磁性聚合物的相图中识别三临界点与多临界点。
• 将分析扩展至稀释伊辛与庞茨模型，以及与表观遗传系统相关的非标准庞茨模型。
• 为理解柔性磁性材料中构象与磁性转变的耦合关系，提供一个半解析框架。

提出的方法

• 利用分支数σ的Bethe格点，通过递归转移矩阵技术映射配分函数。
• 通过配分函数与自旋关联的递推关系，推导自由能与序参量。
• 采用副本方法与平均场近似处理自避约束与自旋相互作用。
• 对q值（q = 2至q = 7）进行数值求解，并比较伊辛型（q=2）与庞茨型（q≥2）耦合。
• 通过递推关系中不动点的稳定性识别相界，并通过热力学量的不连续性分析相变有序性。
• 将解应用于非标准庞茨模型，包括来自PRX 6, 041047 (2016)的染色质表观遗传模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 自旋态数q如何影响庞茨型磁性聚合物中聚合物塌陷与磁有序化转变的性质？
• RQ2 耦合类型（伊辛型与庞茨型）在决定NP-PP与PP-FP相变的临界性与有序性方面起什么作用？
• RQ3 三临界点与临界端点是否在相图中出现？它们如何依赖于q值？
• RQ4 在哪些q值下，磁有序化转变先于或与聚合物塌陷转变同时发生？
• RQ5 在Bethe格点上，稀释伊辛与庞茨模型的相图与完整相互作用模型相比有何异同？

主要发现

• 在标准庞茨模型中q = 2时，存在一个θ点，临界与不连续的NP-PP相变线在此交汇，随后出现第二个三临界点，连接临界与不连续的NP-FP相变。
• 发现一个三重点，其中NP-PP、NP-FP与PP-FP的一级相变线共存，该现象存在于q ≤ 6时。
• 对于q ≥ 7及伊辛型情况（q=2），θ点变为亚稳态，临界NP-PP相变在临界端点（CEP）终止，此时NP-FP与PP-FP共存线交汇。
• 对于q ≥ 7及伊辛情况，聚合物塌陷与磁有序化转变在CEP处同时发生，表明存在单一临界点。
• 对于q ≤ 6，聚合物塌陷转变（NP-PP）先于磁有序化转变（PP-FP），表明为顺序转变。
• Bethe格点上稀释伊辛与庞茨模型的求解证实了PP-FP相变情景的鲁棒性，并支持观察到的多临界行为。