[论文解读] Semibounded representations of hermitian Lie groups

Karl‐Hermann Neeb|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 34被引用 12

一句话总结

该论文对无限维酉赫米特李群的不可约半有界酉表示进行了分类，这些群是赫米特希尔伯特对称空间自同构群的中心扩张。通过光滑向量的谱理论与余伴从轨道凸性，证明了此类表示可全纯诱导自极大紧致子群的有界表示，且在三种类型中实现了完整分类：对称希尔伯特域、其对偶（例如受限格拉斯曼流形）以及平坦空间的运动群。

ABSTRACT

A unitary representation of a, possibly infinite dimensional, Lie group $G$ is called semibounded if the corresponding operators $i\ddπ(x)$ from the derived representation are uniformly bounded from above on some non-empty open subset of the Lie algebra $\g$ of $G$. A hermitian Lie group is a central extension of the identity component of the automorphism group of a hermitian Hilbert symmetric space. In the present paper we classify the irreducible semibounded unitary representations of hermitian Lie groups corresponding to infinite dimensional irreducible symmetric spaces. These groups come in three essentially different types: those corresponding to negatively curved spaces (the symmetric Hilbert domains), the unitary groups acting on the duals of Hilbert domains, such as the restricted Graßmannian, and the motion groups of flat spaces.

研究动机与目标

• 对无限维赫米特李群的不可约半有界酉表示进行分类。
• 将有限维最高权表示理论推广至无限维情形。
• 理解不变锥与余伴从轨道凸性在半有界表示中的作用。
• 确定受限酉群的中心扩张是否会产生超出可延拓至完整酉群的新半有界表示。

提出的方法

• 使用导出表示 $\mathrm{d}\pi$ 和谱上确界映射 $s_\pi(x) = \sup \mathrm{Spec}(i\mathrm{d}\pi(x))$ 定义半有界性。
• 在弗雷歇空间 $\mathcal{H}^\infty$ 的光滑向量上应用谱理论，以提取导出表示的信息。
• 利用 $JH^*$-三元组结构与凯普对赫米特希尔伯特对称空间的分类，分析李代数。
• 通过从极大紧致子群 $K = (G^\theta)_0$ 的有界表示进行全纯诱导，构造半有界表示。
• 分析 $H^2_c(\mathfrak{g}, \mathbb{R})$ 中的上同调类，以判断中心扩张是否产生新表示。
• 应用关于施瓦茨范数与巴拿赫代数 $B_{p/2,p}(\mathcal{H})$ 的结果，定义子群 $\mathrm{U}_{p/2,p}(\mathcal{H})$ 并研究其表示理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些赫米特李群的不可约酉表示是半有界的？它们如何被分类？
• RQ2 受限酉群 $\mathrm{U}_{p/2}^{\rm res}(\mathcal{H})$ 的中心扩张是否会产生超出可延拓至 $\mathrm{U}(\mathcal{H})$ 的新半有界表示？
• RQ3 当 $p > 4$ 时，$\mathrm{U}_{p/2}^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ 的有界表示是否在中心上非平凡作用，或是否全部可延拓至 $\mathrm{U}(\mathcal{H}_\pm)$？
• RQ4 若 $\mathfrak{k}/\mathfrak{z}(\mathfrak{k})$ 中存在开不变锥，这对半有界表示的存在性与结构有何影响？
• RQ5 当 $p=2$ 时，为何 $\mathrm{U}_{1}^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ 的有界表示理论不属于类型 I？这如何影响半有界表示？

主要发现

• 赫米特李群的不可约半有界表示可全纯诱导自极大紧致子群 $K = (G^\theta)_0$ 的有界表示，尤其当 $\mathfrak{k}/\mathfrak{z}(\mathfrak{k})$ 不含开不变锥时。
• 当 $p > 4$ 时，$\mathrm{U}_{p/2}^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ 的中心扩张的所有有界表示在中心上均平凡，因此不会产生超出可延拓至 $\mathrm{U}(\mathcal{H})$ 的新半有界表示。
• 当 $2 < p \leq 4$ 时，是否存在具有非平凡中心作用的非平凡中心扩张仍为开放问题，但预计不会存在此类表示。
• $\mathrm{U}_{\rm res,p}(\mathcal{H})$ 没有无界的不可约半有界酉表示，且当 $\mathcal{H}$ 是可分时，所有可分表示均可延拓至 $\mathrm{U}(\mathcal{H})$。
• 当 $p=2$ 时，$\mathrm{U}_1^{\rm res}(\mathcal{H}_\pm)$ 的有界表示理论不属于类型 I，表明半有界表示具有更丰富且更复杂的结构。
• 该分类涵盖三种类型：对称希尔伯特域（负曲率）、其对偶（例如受限格拉斯曼流形，正曲率）以及平坦空间的运动群。