[论文解读] Semiclassical analysis of the Loop Quantum Gravity volume operator: Area Coherent States

Cecilia Flori|ArXiv.org|Apr 8, 2009

Noncommutative and Quantum Gravity Theories被引用 6

一句话总结

本文通过面积相干态——即以面积算符平方作为复化参数的相干态——研究了环量子引力体积算符的半经典行为。研究发现，除在人为缩放或测度为零的图方向下外，这些态无法再现正确的半经典性质，因此结论是它们不适合用于半经典分析，应在无嵌入依赖的研究中被排除。

ABSTRACT

We continue the semiclassical analysis of the Loop Quantum Gravity (LQG) volume operator that was started in the companion paper [23]. In the first paper we prepared the technical tools, in particular the use of complexifier coherent states that use squares of flux operators as the complexifier. In this paper, the complexifier is chosen for the first time to involve squares of area operators. Both cases use coherent states that depend on a graph. However, the basic difference between the two choices of complexifier is that in the first case the set of surfaces involved is discrete, while, in the second it is continuous. This raises the important question of whether the second set of states has improved invariance properties with respect to relative orientation of the chosen graph in the set of surfaces on which the complexifier depends. In this paper, we examine this question in detail, including a semiclassical analysis. The main result is that we obtain the correct semiclassical properties of the volume operator for i) artificial rescaling of the coherent state label; and ii) particular orientations of the 4- and 6-valent graphs that have measure zero in the group SO(3). Since such requirements are not present when analysing dual cell complex states, we conclude that coherent states whose complexifiers are squares of area operators are not an appropriate tool with which to analyse the semiclassical properties of the volume operator. Moreover, if one intends to go further and sample over graphs in order to obtain embedding independence, then the area complexifier coherent states should be ruled out altogether as semiclassical states.

研究动机与目标

• 评估基于面积算符平方作为复化参数定义的面积相干态，是否相较于以往的通量基相干态能提供更好的半经典性质。
• 研究面积相干态中连续曲面依赖性是否相比离散曲面选择，能改善空间旋转与平移下的不变性。
• 确定这些态在半经典极限下是否能一致地再现经典体积，特别是针对微分同胚类变换。
• 评估面积相干态在LQG中无嵌入依赖的半经典分析中的可行性。
• 将结果与已知在半经典区域表现更优的对偶胞腔复形态进行比较。

提出的方法

• 使用面积算符平方作为复化参数构造复化参数相干态，使态的定义中包含一组连续曲面。
• 对4-、6-和8-价图在不同方向与平移下，进行体积算符期望值的显式半经典分析。
• 计算旋转和平移后图的几何因子与边度量分量，以检验不变性与一致性。
• 分析体积期望值对图方向与空间嵌入的依赖性，重点关注$rac{l}{ar{ ho}}$阶项。
• 通过缩放相干态标签测试是否能人为恢复半经典一致性。
• 与对偶胞腔复形态的结果进行比较，以评估相对性能与鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于面积算符平方作为复化参数的面积相干态，是否能为体积算符产生正确的半经典期望值？
• RQ2 与通量基复化参数相比，其在空间旋转与平移下是否具有更好的不变性？
• RQ3 是否无需对相干态参数进行人为缩放，即可恢复正确的经典体积？
• RQ4 实现正确半经典行为所需的图方向（如4-和6-价）是否具有普遍性，还是仅构成SO(3)中的零测度集合？
• RQ5 面积相干态能否在LQG的无嵌入依赖半经典分析中被可靠使用？

主要发现

• 面积相干态中体积算符的期望值仅在人为缩放相干态标签时才能再现经典体积。
• 仅当4-和6-价图处于特定非普遍方向时，才能实现正确的半经典行为，此类方向在SO(3)中构成零测度集合。
• 这些态在空间旋转与平移下无法保持一致的半经典性质，表明其不变性与鲁棒性较差。
• 体积期望值中的几何因子对图的方向与嵌入极为敏感，削弱了其作为半经典态的可靠性。
• 由于上述缺陷，面积相干态被排除为体积算符半经典分析的合适工具。
• 若通过图采样实现无嵌入依赖性，应将面积相干态完全排除在相关构造之外。